CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

1. APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS: ÁREA ENTRE CURVAS E VOLUME

2. INTEGRAIS DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO E INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMÉTRICAS Existem dois métodos para calcular uma integral definida por substituição. Um dos métodos consiste em encontrar por substituição a integral indefinida correspondente e usar uma das primitivas para calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo

3. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO - Dessa forma, o valor da integral dependerá desse limite superior variável, que vamos chamar de x. Fazendo x variar no intervalo [a,b], então a função F: [a,b]→ℝ será definida por: F(x)= ∫a x f(t) dt

4. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO - [F(g(x))]’ = F ’(g(x)).g ’(x) = f(g(x)).g ’(x)

5. INTEGRAL INDEFINIDA - Se F(x) é uma primitiva de f(x), então a expressão F(x)+C é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por ∫f(x)dx = F(x)+C.

6. INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS -

7. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

8. APROXIMANDO ÁREAS - A letra grega maiúscula ∑significa “soma”. O indice i nos diz onde começa a soma (no número sob o ∑) e onde ela termina (no número acima do ∑). Quando o símbolo ∞ aparece acima do ∑, significa que os termos continuam indefinidamente. Fonte: (THOMAS et al., 2012).

9. INTEGRAÇÃO POR PARTES - Considerando f(x) e g(x) funções que são deriváveis em um intervalo I, então, pela regra do produto temos que: [f(x).g(x)] = f(x).g ’(x)+g(x).f ’(x) Ou ainda que: f(x).g ’(x) = [f(x).g(x)]-g(x).f ’(x) Ao integrarmos ambos os lados, obtemos que: ∫ f(x).g ’(x) dx = ∫ [f(x).g(x)]’ dx - ∫ g(x).f ’(x) dx ∫ f(x).g ’(x) dx = f(x).g(x) - ∫ g(x).f ’(x) dx Fazendo u = f(x), du = f ’(x) dx e v = g(x), dv = g ’(x) dx, então, a expressão anterior pode ser reescrita como: ∫ u dv = u.v - ∫ v du

10. INTEGRAL DEFINIDA -

11. INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS - fração racional é da forma f(x)= , em que p(x) e q(x) ≠ 0 são duas funções polinomiais / Proposição. Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, então pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais.

12. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS -

13. PRIMITIVAS - Seja f uma função definida em um intervalo I. Uma função F é dita primitiva (ou antiderivada) de f em I se F’(x) = f(x) para todo x∈I.

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