ÁLGEBRA LINEAR

ÁLGEBRA LINEAR

1. ESPAÇO VETORIAL

   • Considera-se um espaço vetorial qualquer objeto munido operações da soma entre seus componentes e a multiplicação por escalar, sob critério de satisfazer todos as axiomas
     • (1) u+v pertence a V; (2) u+v=v+u; (3) u+(v+w)=(u+v)+w; (4) 0+u=u+0=u; (5) u+(-u)=(-u)+u=0; (6) a*u pertence a V; (7) a(u+v)=a*u+a*v; (8) (a + b)u = a*u + b*u; (9) a(bu)=(ab)u; (10) 1u=u;
       • (a) 0u=0; (b) a0=0; (c) (-1)u=-u; (d) au=0, então a=0 ou u=0
   • SUBESPACO VETORIAL
     • Subconjunto W de um espaço vetorial V que se define as operações de adição e multiplicação por escalar
       • W é um subconjunto de V se, e só se, forem contempladas (1) u+v contido em W; (2) au contido em W
         • Interseção de W¹, W², . . ., W, será um subespaço vetorial se estiver contido no espaço vetorial V
     • COMBINAÇÃO LINEAR
       • O vetor w, contido em V, é uma combinação linear de v¹, v², . . ., v, quando suprido através do somatório das multiplicações pelos coeficientes da combinação linear: w = a¹v¹ + a²v² + . . . + av.
         • Conjunto gerador são todas combinações lineares possível de um conjunto S = {w¹, w², . . ., w}, identificado por ger(S)
           • ger(S) = ger(S') se cada vetor de S é uma combinação linear dos vetoes de S' e vice-versa
             • Conjunto de todas combinações lineares de S é um subespaço de V, no sentido que este é o "menor" subespaço de V
   • INDEPENDÊNCIA LINEAR
     • Para k¹v¹ + k²v² + . . . + kv = 0, no qual k¹=0, k²=0, . . ., k=0 (solução trivial), apresente apenas esta solução, trata-se do conjunto linearmente independente, caso detenha outras soluções, trata-se de um conjunto linearmente dependente
       • Será linearmente dependente se um vetor do conjunto S for combinação linear dos outros vetores deste conjunto, caso contrário será linearmente independente
         • Será linearmente dependente se o conjunto finito de um ou mais vetores conter 0
           • Linearmente dependente se a quantidade de vetores for maior que a dimensão de R'
   • BASE E MUDANÇA DE BASE
     • Um conjunto limitado de vetores contido em um espaço vetorial que seja linearmente independente e seja conjunto gerador deste espaço vetorial
       • Pode construir o vetor de coordenada de v em relação a base de um espaço vetorial, pelos escalares c¹, c², . . ., c
       • Seja base de um espaço vetorial, cada vetor componente pode ser expresso v=c¹v¹ + c²v² + . . . + cv de forma única
     • A mudança de uma base velha para uma base nova, em relação a qualquer vetor contido no espaço vetorial, estará correlacionada pela multiplicação da matriz das coordenadas do vetor da base nova em relação a velha e do novo vetor de coordenadas, entendendo que resultará exatamente a configuração do velho vetor de coordenadas
       • Se a matriz das coordenadas do vetor da base nova em relação a velha de um espaço vetorial de dimensão finita, então essa matriz é invertível, gerando a matriz de transição da base nova para velha

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