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Resumen Álgebra Lineal

Sebastián Jácome Spanish

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Una Matriz de Tamaño n*m es un arreglo rectangular de números los cuales pueden ser reales o complejos.
- Están formadas por m filas y n columnas siendo cada una de estas un vector.
  - Estructura de una Matriz
    - - Tipos de Matrices:
        De acuerdo a sus características las matrices existen varias clases.
        Matriz cuadrada:
        Aquella que tiene igual número de Filas que columnas
        Matriz Diagonal
        Matriz Cuadrada cuyos elementos diferentes de cero están en la Diagonal
        Matriz Identidad
        Matriz diagonal y cuadrada y diagonal cuyos elementos distintos de 0 son 1
        Matriz Transpuesta
        Se obtiene cambiando las filas por las columnas
        Matriz Nula
        Matriz cuyos elementos son 0
  - Operaciones con Matrices
    - Entre 2 o mas Matrices es posible realizar Suma, Resta y Producto
      - Suma y Resta
        Dos o Mas matrices pueden sumarse o restarse mediante la operación entre los elementos correspondientes de filas y columnas
      - Producto
        Se puede realizar cuando el numero de filas de la primera matriz es igual al numero de filas de la segunda matriz
        El resultado del producto es una matriz nueva con las filas de la primera matriz y las columnas de la segunda
        Los elementos se obtienen mediante la suma de los productos parciales entre filas y columnas.
        Producto de una Matriz con un Escalar
        Sea c un escalar y A m*n una matriz, el producto es una matriz cuyos elementos son el resultado del producto de la constante C por cada elemento de la Matriz A
        Combinación Lineal
        Si se dispone de K constantes y matrices de igual tamaño la combinacion lineal de estas matrices es la suma del producto de cada constante por la matiz respectiva.
  - Matrices Inversas.
    - Solo existen en las matrices cuadradas. Si se multiplica a la matriz original por la matriz inversa la respuesta es una matriz identidad. Además pueden resolverse a modo de inecuación
      - Teorema: Si una matriz es invertible o no singular, entonces su matriz inversa es Única. No toda matriz es Invertible o tiene Inversa.
        Propiedades de la Matriz Inversa:
        1) Si una matriz An*n es invertible entonces su inversa también lo es
        2) Si 2 matrices A y B son no singulares entonces su producto también lo es
        3) SI una matriz An*n es Invertible o no singular entonces su transpuesta es invertible.
    - Cálculo de la matriz Inversa
      - Mediante las operaciones elementales se pueden realizar sistemas de operaciones para el cálculo de la matriz Inversa.
      - Matriz Aumentada.
        Es aquella a la cual se le aumentan nuevos elementos con el objetivo de realizar las operaciones elementales para alcanzar lo que se propone en la matriz original.
        Para realizar el calculo es necesario obtener la matriz aumentada con la identidad de la forma (A|I) y mediante las operaciones elementales transformar la matriz A en la Identidad para de esta manera el resultado en la derecha sea la matriz Inversa (I|AI))
  - Sistemas Lineales e Inversos
    - Este tipo de sistemas se puede representar en la forma matricial:
      - Sistemas Homogeneos:
        Es Cuando todos los elementos de la matriz son 0
        Teorema: Un sistema homogéneo AX=0 Tiene Solución no tribial si y solo si A no tiene inversa, es decir, es singular
        Rango de una Matriz
        El rango de una matriz Am*n es el numero de filas que son linealmente independientes
        Cálculo de Gauss: Mediante operaciones elementales se forman 0 bajo la diagonal bajo la diagonal de forma escalonada. El número de filas diferentes a 0 Es el rango de la matriz
        Teorema: Si el rango de una Matriz cuadrada An*n no es n, no tiene Inversa
        Matriz Binaria
        Son aquellas matrices cuyos elementos son únicamente 0 y 1
        Función Determinante
        Una función determinante es aquella que toma una matriz cuadrada y transforma en un numero
        Permutación:
        Sea S el conjunto de enteros ordenados de forma ascendente, un reordenamiento de S representa una permutación existiendo en total N! permitaciones
        Inversión
        En una permutación una inversión es cuando un número mayor precede a uno menor
        Determinante
        Sean An*n una matriz cuadrada cuyos elementos son ai y el determinante tiene notaciones diferentes. Entre ellas Det(a); |A| y se calcula
        Propiedades del determinante
        Se realizan mediante teoremas que pueden demostrarse y Verificarse
        El determinante de una matriz transpuesta tiene el mismo valor del determinante de la matriz original.
        Si se obtiene una matriz B intercambiando 2 filas o columnas de una matriz A, entonces el determinante de A es -Determinante de B
        Si una matriz cuadrada tiene filas o columnas de 0 su determinante es 0
        Si una matriz cuadrada tiene 2 filas o columnas iguales su determinante es 0
        Si se obtiene una matriz B multiplicando por un número real o una matriz B entonces el Determinante de B es igual a K determinante de A
        Si una matriz B de tamaño n*n se obtiene al sumar o restar a una fila o columna K veces otra fila o columna
        Artificio 3*3
        Se aumentan las 2 primeras columnas a la derecha, el producto de las diagonales principales es + y el de las secundarias es -
    - Menores
      - Sea An*n una submatriz M de tamáñó (n-1)(n-1) se obtiene eliminando una fila y una columna.
      - Cofactores
        Un cofactor se obtiene como:
  - Matriz Adjunta
    - Se denomina matriz adjunta a la transpuesta de la matriz de cofactores
      - Sea An*n, el determinante de la matriz se obtiene escogiendo una fila o columna cualquiera
        Si An*n siempre se cumple A*Adj(A)=Adj(A) y A=Det(A)In*n
        Corolario
        Se desprende del teorema anterior y sirve para calcular la inversa de A
  - Sistemas de Ecuaciones Lineales en Matrices
    - Matriz escalonada por Filas
      - Matriz escalonada reducida por Filas. Esto ocurre cuando se cumplen estas 4 condiciones
        Si la matriz tiene una o mas filas de 0, estas deben encontrarse al final de las filas
        El primer elemento distinto de 0, al ir de izquierda a derecha debe ser 1 al que se le denomina como 1 principal.
        El 1 Principal debe encontrarse abajo y a la derecha del 1 principal de la fila precedente
        En la columna del 1 principal el resto de elementos son 0
      - Si una matriz cumple con las tres principales propiedades y no la cuarta se denomina escalonada por filas
        Si una matriz B se obtiene mediante las 3 operaciones elementales aplicadas sobre A, entonces es equivalente por filas.
        Teoremas:
        Toda matriz escalonada por filas es equivalente por filas a la matriz inicial
        Toda matriz de tamaño n*m es equivalente por filas a una única matriz escalonada reducida por filas
        Teorema principal: Dos sistemas de ecuaciones cuyas matrices aumentadas son (A|b) y (C|d) son equivalentes por filas entonces tiene solución
    - Solución de sistema de ecuaciones lineales
      - Sea un sistema de ecuaciones con N incógnitas existen 3 opciones
        Si no Existe A^-1 no se puede concluir que el sistema no tenga solución, el SEL Puede resolverse por otro método
        1) El sistema tiene solución única
        2) El sistema tiene infinito número de soluciones
        3) No tiene solución, es inconsistente
        Clasificación de soluciones de sistemas de ecuaciones Lineales
        El tipo de solución se determina mediante el teorema Rouche Frobenius
        Relaciona el tipo de solución de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas mediante el rango de la matriz de coeficientes A y la matriz aumentada (A|b)
      - Los métodos para resolver son variados y algunos dependen del tamaño de la matriz de coeficientes, pero los mas importantes son:
        Gauss Jordan
        En este método la matriz ampliada (A|b) se reduce a una matriz identidad
        Su objetivo es reducir la matriz en base a las 3 operaciones elementales hasta transformarlas en la identidad, mientras que simultaneamente realizamos las mismas operaciones en la columna de resultados, lo que nos dará finalmente la solución.
        La solución de esta matriz es realizar el procedimiento de reducción a matriz identidad, y la columna de resultados son las respuestas empezando por x1 hasta xn.
        Reducción de Gauss
        En este método la matriz ampliada (A|b) se reduce a una escalonada por filas obteniendo la matriz triángulo superior
        Este método se realizadespejando las inecuaciones resultantes del método anterior empezando por la última fila
        Conforme se va progresando hasta las filas superiores, se reemplazan los valores que ya se han obtenido en las variables faltantes para obtenerlas una por una
        La respuesta de este método son las respuestas a las variables obtenidas empezando con xn hasta llegar a x1, siendo esto la matriz x
        Mediante la Matriz Inversa
        En este Método se crea una matriz aumentada A|I donde I es la matriz identidad.
        El procedimiento a realizar es un despeje similar a Gauss Jordan, en la que se convierte a la matriz A en la identidad mientras que se realizan los procesos simultaneos en la matriz de la derecha, lo que nos da la matriz inversa de A
        Una vez hecho esto la matriz de respuesta X se obtiene multiplicando la matriz inversa de A por la matriz de resultados B
        Por descomposición L.U
        Este método es recursivo y usado en programación. Consiste en descomponer la matriz de coeficientes A en 2 matrices siendo estas L=Triángulo inferior y U=Triángulo superior
        El método mas simple para esta resolución consisten en usando la matriz L, la diagonal se considera formada unicamente por 1 y el resto de elementos bajo la diagonal se consideran las constantes para formar los bajos de la diagonal de U
        Los pasos a realizar son los siguientes:
        Obtener L y U.
        Obtener Z realizando un despeje en base a la Ecuación LZ=B
        Realizar un despeje en Base a la Ecuación UX=Z
        La matriz X es la solución, puede comprobarse en base a la equivalencia AX=B
        Método de Crammer
        El método utiliza el cálculo de determinantes siempre y cuando el SEL sea de igual numero de ecuaciones que de incógnitas y el determinante no sea 0
        Este método se realiza reemplazando la columna de resultados B en cada columna de la matriz y sacar el determinante en cada caso
        Dependiendo de en que columna se reemplaze se obtendrá uno de los resultados siendo en el reemplazo en la columna n el resultado xn
Sebastián Jácome