SÉRIE DE TAYLOR E SUAS APLICAÇÕES

SÉRIE DE TAYLOR E SUAS APLICAÇÕES

1. FORNECE UM MEIO DE APROXIMAR UMA FUNÇÃO F(x)

   • ISSO NOS PERMITE, POR EXEMPLO, MANIPULAR O POLINÔMIO, AO INVÉS DE MANIPULAR A FUNÇÃO EM SI
   • A EXPRESSÃO É A SEGUINTE:
     • • ONDE, A CONSTANTE C SIGNIFICA QUE A APROXIMAÇÃO É VÁLIDA EM TORNO DESSE PONTO
         • E OS VALORES DOS COEFICIENTES An SÃO DEFINIDOS ATRAVÉS DAS DERIVADAS DA FUNÇÃO QUE SE QUER APROXIMAR
       • SUPONDO QUE UMA FUNÇÃO F(x) POSSUA TODAS AS DERIVADAS EM UM DETERMINADO PONTO X = Xo, PODEMOS ESCREVER A FUNÇÃO F(x) COMO SÉRIE DE POTÊNCIA INFINITA QUE POSSUI A FORMA:
         • • DE FORMA MAIS GERAL, PODEMOS ESCREVER A DEFINIÇÃO DO POLINÔMIO DE TAYLOR COMO:

2. O RESTO DE LAGRANGE REPRESENTA O QUE FALTOU PARA QUE O POLINÔMIO DE TAYLOR FOSSE IGUAL À FUNÇÃO ORIGINAL

   • DESSA FORMA, QUANDO O NÚMERO DE TERMOS TENDE AO INFINITO, Rn(x) TENDE A ZERO

3. A SÉRIE DE MACLAURIN É A SÉRIE DE TAYLOR AO REDOR DE X = 0, ISTO É:

4. DENTRE SUAS APLICAÇÕES, TEMOS:

   • APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
     • QUANDO F(x) ≃ Tn(x)
   • MÁXIMOS E MÍNIMOS
   • CONVERGÊNCIA DE MÉTODOS ITERATIVOS
   • EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
   • CÁLCULO DE FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS: SEN(X), COS(X) ...
   • INTEGRAIS DEFINIDAS
   • RELATIVIDADE ESPECIAL

5. PARA A FUNÇÃO F(x) = 5x³ + x + 2

   • Encontrando o polinômio de Taylor de segunda ordem P2(x) em torno de Xo = 1
     • f'(x) = 15x² +1 e f"(x) = 30x
       • calculando a função e suas derivdas aplicadas em x=xo=1: f(1) = 8; f'(1) = 16; f"(1) = 30
         • polinômio de Taylor de segunda ordem:
           • Substituindo: P2(x) = 15x² -14x + 7
             • COMO DISCUTIDO ACIMA, O GRÁFICO DA FUNÇÃO E DO POLINÔMIO, SE APROXIMA NO PONTO EM QUE Xo = 1

6. COMO MOSTRADO, É POSSÍVEL SOLUCIONAR EDOs, COMO POR EXEMPLO:

   • • APRESENTANDO Y COMO UMA SÉRIE DE TAYLOR IRÁ FACILITAR A SOLUÇÃO
       • REFORMULANDO EM TERMOS DE y = x -xo:
         • COMO SABEMOS:
           • ENTÃO:

7. OUTRO EXEMPLO:

   • DADA A EDO:
     • A SOLUÇÃO GERAL É:
       • ONDE Ao E A1 SÃO ARBITRÁRIOS E Y1 E Y2 SÃO SOLUÇÕES ANALÍTICAS EM Xo
       • RESOLVENDO A EDO:
         • CONSIDERANDO:
           • E SUBSTITUINDO, NO FINAL TEREMOS:

8. É POSSÍVEL ESTIMAR VALORES DE INTEGRAIS, COMO POR EXEMPLO:

   • E ASSIM, TEREMOS:

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