UD 11: INTEGRALES

UD 11: INTEGRALES

1. 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

   • INTEGRALES POR PARTES
     • Este método se basa en la expresión de la derivada de un producto:
       • (f·g)' = f' · g + f · g' => f · g' = (f·g)' - f' · g => { f · g' dx = { (f·g') dx - { f' · g dx => { f · g' x = f · g - { f' · g dx
         • Esta escuación se suele representar en la forma:
           • { u · dv = u · v - { v · du
     • Una vez elegida f y g', necesitamos conocer f' y g, es decir, hay que derivar la función elegida como f e integrar la elegida como g'.
     • Será conveniente que la función elegida como g se pueda integrar fácilmente (exponenciales y trigonométricas).
   • INTEGRALES RACIONALES
     • { p (x)/q (x) dx
     • Si el grado de p (x) es mayor o igual que el grado q (x):
       • p (x) = dividendo g (x) = divisor c (x) = cociente r (x) = resto
       • { p (x)/q (x) dx = { c (x) dx + { r (x)/q (x) dx
     • RACIONALES INMEDIATAS
       • { k/(x-a) dx = k · ln (x-a) + C
       • { k/(x-a)^n dx = { k · (x-a)^-n dx = k · (x-a)^(-n+1)/(-n+1)
       • { (mx+n)/(ax^2+bx+c) dx = { mx/(ax^2+bx+c) dx + { n/(ax^2+bx+c) dx (log+arctg)
     • RACIONALES NO INMEDIATAS
       • Se descompone el denominador en factores con lo cual la fracción pasa a ser una suma de fracciones simples.
       • En el caso de tener raíces múltiples en el denominador, 1/(x-a)^n, descompondremos el polinomio en potencias de x - a.
       • Si se tratara de fracciones sin polinomios, sería así:
         • 6/8 = a/2 + b/4 + c/8 = a · 2^2/2^3 + b · 2/2^2 + c/2^3

2. 5. FUNCIÓN FRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

   • La función F (x) es una primitiva de f (x) si, y sólo si, f (x) es la primitiva de F (x).
     • si F (x) es primitiva de f (x) => F' (x) = f (x) si G (x) es primitiva de f (x) => G' (x) = f (x)
       • F' (x) - G' (x) = f (x) - f (x) = 0 => (f(x)-g(x))' = 0 => f (x) - g (x) = C => F (x) = G (x) + C
   • Dos frimitivas de una misma función solo se diferencian en el término independiente.

3. 2. REGLAS DE INTEGRACIÓN

   • Para calcular integrales usaremos las reglas de derivación, pero "leídas en sentido contrario".
   • LINEALIDAD DE LA INTEGRAL
     • 1ª REGLA
       • { [f(x)+-g(x)] dx = { f (x) dx +- { g (x) dx
     • 2ª REGLA
       • { k · f (x) dx = k · { f (x) dx si x es un número real
   • LA INTEGRAL ES LA INVERSA DE LA DERIVADA
     • 3ª REGLA
       • { f' (x) dx = f (x) + C
     • Si tenemos en cuenta que la función f (x) es una función compuesta:
       • f [g(x)] => (f'[g(x)])' = f' [g(x)] · g' (x) => { f' [g(x)] · g (x) dx = f [g(x)] + C
       • { x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C
   • FUNCIONES POTENCIALES
     • Para integrar una función potencial habrá que aumentar en una unidad el exponente y dividir por dicho exponente:
       • { x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C => y = x^n => y' = n · x^(n-1)
       • { f^n [g(x)] · g' (x) dx = f^(n+1)·[g(x)]/(n+1) + C si n no = -1
       • En el caso en que el exponente sea n = = -1, no podemos aplicar esta regla, pues nos quedará:
         • f^(n+1)·[g(x)]/0
         • En ese caso, la integral es:
           • { x^(-1) dx = { 1/x dx = ln |x| + C => { g' (x)/f [g(x)] dx = ln |f [g(x)] + C
   • FUNCIONES EXPONENCIALES
     • Las exponenciales más frecuentes tienen base e:
       • { e^x dx = e^x + C = { e^f (x) · f' (x) dx = e^f (x) + C
     • Aunque ocasionalmente se encuentran en otras bases:
       • { a^x dx = a^x/ln a + C => { a^f (x) · f' (x) dx = a^f (x)/ln a + C
   • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
     • Las integrales de las funciones trigonométricas elementales son:
       • { sen x dx = -cos x + C => { sen f (x) · f' (x) dx = -cos x f (x) + C
       • { cos x dx = sen x + C => { cos f (x) · f' (x) dx = sen x f (x) + C
   • FUNCIONES INVERSAS DE LAS TRIGONOMÉTRICAS
     • { f' (x)/(1-f^2(x))^(1/2) dx = arcsen f (x) + C
     • { f' (x)/(1+f^2(x)) dx = arctg f (x) + C

4. 4. ÁREA DE UNA FUNCIÓN SOBRE EL EJE OX

   • Dada una función positiva y = f (x), el área de la región plana limitada por su gráfica sobre el eje de abscisas (OX) entre las absicas x = a y y = b se representa por A [f,a,b].
   • Dada una función continua y positiva y = f (x), la función que da el área de la región que limita f sobre el eje de abscisas entre un valor fijo, a, y otro variable, x, tiene como derivada dicha función f.
   • A [f,a,x] = f (x)
     • f (x) = f' (x)
       • A [f,a,x] = f' (x)

5. 9. CÁLCULO DE ÁREAS POR INTEGRACIÓN

   • En un intervalo, el área comprendida entre dos funciones es la integral de la diferencia entre la función que se encuentra por encima menos la función que se encuentra por debajo.
   • Para saber cuál es la función que se encuentra por encima, hasta con dar un valor a esas funciones dentro del intervalo considerado (o en los intervalos de cada uno de los puntos de corte) y analizar el valor numérico obtenido en ambas funciones.
   • Cuando nos pide el área sobre el eje OX, la función correspondiente al eje OX es g (x) = 0.
   • Si la función f (x) va por debajo del eje OX, entonces el valor de la integral será negativo.

6. 6. LA INTEGRAL DEFINIDA

   • Sea y = f (x) una función continua y positiva en el intervalo cerrado [a,b]. El área de la región que limita dicha función sobre el eje de abscisas a y b, A [f,a,b], se obtiene mediante la integral definida de f (x) en el intervalo [a,b] y se representa por b{a f (x) dx.

7. 8. REGLA DE BARROW

   • Para obtener la integral de una función en un intervalo, basta conocer una primitiva cualquiera, G (x), y efectuar la resta del valor que toma para el extremo superior, menos el que toma para el extremo inferior, siendo el resultado independiente de la primitiva elegida.
     • b{a f (x) = f (b) - f (a)

8. 7. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL

   • Para cualquier función para la que exista la integral se verifica:
     • 1. b{a f (x) dx = c{a f (x) dx + b{c f (x) dx => c € [a,b]
     • 2. b{a [f(x)+g(x)] dx = b{a f (x) dx + b{a g (x) dx
     • 3. b{a k · f (x) dx = k · a{b f (x) dx

9. 1. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN

   • La integral definida de una función f (x) es el conjunto de todas las primitivas de dicha función y se representa por:
     • { f' (x) dx
   • Para representar el conjunto de primitivas de una función f (x) se utiliza una primitiva concreta y una constante orbitaria:
     • { f' (x) dx = f (x) + C
   • La integral se considera que es la operación inversa a la derivada de una función, ya que:
     • [f(x)+C]' = f' (x)
   • Así pues, al integral estamos buscando una función f (x) tal que al derivarla obtengamos la función a integrar.