CÁLCULO NUMÉRICO

CÁLCULO NUMÉRICO

1. Modelagem do problema: etapa em que o problema real é traduzido para a linguagem matemática, resultando em um modelo matemático que o represente.

   • Resolução do modelo: uma vez formulado o modelo matemático, a etapa seguinte consiste em encontrar a solução para este modelo.

2. A resolução de problemas em engenharia e ciências aplicadas, que se baseiam em modelos matemáticos, envolve a escolha entre duas abordagens principais: métodos analíticos e métodos numéricos

   • Os métodos analíticos, quando aplicáveis, oferecem soluções exatas e informações detalhadas sobre o comportamento do sistema. Eles se baseiam em técnicas de cálculo diferencial e integral, álgebra linear e outras ferramentas matemáticas para encontrar soluções em forma de equações fechadas.
   • Os métodos numéricos se baseiam na representação numérica do problema, dividindo o domínio de estudo em um número finito de pontos ou elementos. Através de algoritmos computacionais, é possível aproximar as equações diferenciais que descrevem o problema por um sistema de equações algébricas, que podem ser resolvidas numericamente
     • A escolha do método numérico adequado depende da natureza do problema, da precisão desejada e dos recursos computacionais disponíveis
   • Os erros de truncamento surgem quando um modelo matemático envolve processos infinitos ou muito grandes para a determinação de certo valor. Para resolver essa situação, esses processos são interrompidos em um determinado ponto, ou seja, são utilizados um número finito de termos

3. Os determinantes, embora possam parecer abstratos à primeira vista, possuem um papel fundamental na resolução de sistemas de equações lineares. Neste capítulo, exploraremos a teoria por trás dos determinantes e suas diversas aplicações no cálculo numérico. Veremos como o cálculo de determinantes está intimamente ligado às matrizes

4. Os determinantes, assim como as matrizes, também possuem diagonais, tanto a principal como a secundária. Este conceito nos permite calcular os determinantes de primeira e de segunda ordem (Dornelles Filho, 2016; Jarletti, 2018).

5. Determinantes de terceira ordem são aqueles obtidos a partir de matrizes 3 3 × . A resolução destes determinantes não é advinda da definição, como as duas anteriores, mas de uma regra prática chamada “Regra de Sarrus”, em homenagem ao matemático francês Pierre Frédéric Sarrus. Essa metodologia pode ser utilizada de três formas diferentes: pela repetição das duas primeiras colunas da matriz ao lado direito; pela repetição das duas primeiras linhas da matriz, abaixo; ou, ainda, sem a repetição dos elementos

6. O Teorema de Laplace é uma ferramenta que permite calcular o determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem. Como já vimos, existem métodos bem definidos para o cálculo de determinantes de matriz quadrados de ordem 1, 2 e 3.

7. O cofator de um elemento da matriz, também denominado de complemento algébrico, é um número real relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n >1 . Isso implica em dizer que essa matriz possui n n × cofatores, uma vez que cada um de seus elementos possui um cofator associado (Dornelles Filho, 2016; Jarletti, 2018)

8. Sistemas lineares são utilizados com o intuito de conseguir resolver um conjunto de equações simultâneas – equações essas cujos gráficos são retas (por isso, lineares). Essas equações são acopladas, pois as variáveis em uma posição dependem das variáveis nas regiões adjacentes

   • O método gráfico de resolução de sistemas consiste em esboçar o gráfico de cada uma das equações e verificar onde eles se interceptam. É uma ferramenta visual, mais útil quando o sistema apresenta apenas duas ou três incógnitas. Como ele permite visualizar a solução do sistema, fornece uma interpretação geométrica do problema, o que facilita a sua compreensão
   • A regra de Cramer é outra metodologia muito aplicada para resolução de sistemas que apresentam um pequeno número de equações. Determinantes, que foram estudados no Capítulo anterior, são utilizados na implementação da regra de Cramer. Além disso, o determinante também é relevante para avaliar o mau condicionamento de um sistema.
   • O método da eliminação de Gauss, também conhecida como escalonamento é bastante empregado na resolução sistemas lineares. Essa abordagem pode ser entendida como uma forma de manipular o sistema através de determinadas operações elementares, para eliminar variáveis de forma a transformar a matriz estendida do sistema em uma matriz triangular (chamada de matriz escalonada do sistema).

9. A matriz inversa pode ser determinada coluna a coluna, gerando soluções para vetores unitários como constantes do lado direito (Chapra, 2013; Dornelles Filho; Ayjara, 2016)

   • A matriz inversa é uma ferramenta fundamental em diversas áreas da ciência e engenharia, permitindo não apenas a resolução de sistemas lineares, mas também a análise da estabilidade desses sistemas. Ao trabalhar com matrizes no corpo dos números reais ou complexos, classificam-se as matrizes em invertíveis e singulares. No entanto, quando lidamos com a aritmética de precisão finita, presente em computadores, a situação se torna mais complexa.
   • A análise da condição de uma matriz, frequentemente realizada através do cálculo do número de condição, é crucial para avaliar a qualidade de uma solução numérica e tomar decisões sobre a escolha de algoritmos e a precisão desejada

10. Os métodos para determinar as raízes de equações algébricas e transcendentais podem ser categorizados em duas grandes classes: diretos e indiretos. Os métodos diretos fornecem a solução exata da equação em um número finito de passos, como as fórmulas de resolução para equações de segundo grau.

    • Os métodos diretos são aqueles de natureza analítica, ou seja, sob certas condições, eles fornecem todas as soluções de uma equação mediante fórmulas algébricas fechadas. Essas condições, no entanto, nem sempre são facilmente verificáveis e podem limitar a aplicabilidade desses métodos, especialmente para equações de grau elevado ou com coeficientes complexos