1_DERIVADA

1_DERIVADA

1. Reta tangente

   • Reta secante s. ms = f(x)-f(a)/x-a
   • Ar= -1/As

2. Derivada a esquerda e direita

   • f'+(a) = lim h→0 +f(a+h)-f(a)/h

3. Teoremas

   • f(x) = c, se x∈R f'(x)=0 ∀x
   • f(x) = x^n , então f ′ (x) = n · x ^n−1, ∀ x∈Z
   • f(x)= k. g(x), se k for constante então f'(x) = k.g'(x)
   • h(x) = f(x) + g(x), se ∃ f'(x) e g'(x) então h'(x) = f'(x) + g'(x)
   • h(x)=f(x).g(x), se ∃ f'(x) e g'(x), então h(x) = f'(x).g(x) + f(x).g'(x)
   • h(x) = f(x)/g(x) , se g(x) ≠ 0 h(x) e se ∃ f'(x) e g'(x) então h'(x) = f'(x).g(x) - f(x).g'(x) / [g(x)²]

4. Funções

   • Funções Trigonometricas
     • Função cosseno
       • cos(a+b) = cos a.cos b - sen a.sen b
         • f(x) = cos x então, Dx(cosx) = -senx
     • Função seno
       • sen(a+b) = sen a.cos b + cos a.sen b
         • f(x) = sen x então, Dx(senx) = cosx
   • Funções Exponencias
     • f(x) = a^x (com a > 0 e a ≠ 1 ) então, f'(x) = a ^x ln a
       • se f(x) = e x então, f '(x) = e x
   • Função logaritimica
     • se f(x) = log a x (com a > 0 e a ≠ 1) então, f ′ (x) = 1/x.ln a
   • Função composta
     • Regra da cadeia
       • (f o g)' (x) = f'(g(x)). g′(x)
         • Dx [f(u)] = f′(u).Dx u

5. Derivada implicita

   • Acontecem quando tem duas variaveis em uma equação, se estamos derivando em razão de x, a incognita y deve ser derivada em relação a y e manter o dy/dx

6. Regra da Potencia

   • se n∈R f(x) = x^n f'(x) = n.x^n-1
     • ln|y| = ln|x|^n = n ln|x| x≠0
       • Consequencia 1
         • f(x) = x^1/n , então f′(x) = 1/n . x^1/n −1, ∀ n Z*
       • Consequencia 2
         • f(x) = x^r , então f′(x) = r · x^r−1, ∀ r ∈ Q
           • (r = a/b, a ∈ b ∈ Z, b ≠ 0)

7. Derivada de ordem superior

   • d^ny/dx^n = d/dx [ d^n−1. y/dx^n−1 ], ∀ n ∈ N

8. Aplicações

   • Taxa de variação de uma função de x¹ a x¹ + Δx¹
     • f(x¹ + ∆x) − f(x¹)/∆x = ∆y/∆x
   • Variação instantânea
     • A variação de uma função f no ponto a é o limite, quando h → 0, do quociente entre a variação da função no intervalo [a, a + h]
       • lim h→0 f(a + h) − f(a)/h = f′(a)

9. Diferencial

   • encararmos dy/dx como um quociente
     • ∆ y = ∆ f = f(x + ∆x) − f(x)
   • variações
     • dy ≈ ∆ y
       • se y=f(x) ∀ y, então dy=f'(x)∆x
       • se y=f(x) ∀x, então dy=∆x

10. Extremos da função

    • Máximo absoluto
      • f(c) ≥ f(x), ∀ x ∈ Df , onde Df, é o domínio de f
    • Minimo absoluto
      • f(c) ≤ f(x), ∀ x ∈ Df , onde Df é o domínio de f
    • Máximo local
      • f(c) ≥ f(x), ∀ x ∈ I, onde I ⊂ Df é um intervalo aberto e c ∈ I.
    • Minimo Local
      • f(c) ≤ f(x), ∀ x ∈ I, onde I ⊂ Df é um intervalo aberto e c ∈ I.

11. Valor extremo

    • uma função contíınua em um intervalo fechado tem um valor máximo e um mínimo

12. Fermat

    • Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e f ′ (c) existir, então f ′ (c) = 0.
    • Numeros criticos
      • É um número c no domínio de f tal que f′ (c) = 0 ou ∄ f′ (c).