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Description
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about 5 years ago
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SEZIONE AUREA: storia di un numero e di
un mistero che dura da 3000 anni
- “La geometria ha due grandi tesori uno è il teorema di Pitagora; l’altro la divisione di un
segmento in media ed estrema ragione. Possiamo paragonare il primo ad una certa
quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa.” “Sono convinto che questa
proporzione servì da idea al Creatore, quando Egli introdusse la generazione continua di
forme simili da forme simili tra loro." Keplero (1571-1630)
- TRIANGOLI SÌ, MA QUANTI? Luca
dice: in questo pentagono vedo
10 triangoli. Bianca le risponde:
io, ne vedo molti di più! Quanti
triangoli si possono vedere in
tutto in questa figura?
- ORNAMENTO GRECO: Le strisce scure e
chiare hanno tutte la stessa larghezza.
Maya ripasserà in nero le zone scure e di
giallo quelle chiare. Secondo voi Maya
utilizzerà' più' pittura gialla o nera?
- RETTANGOLO DI FIBONACCI: Alex afferma
che se conosce il perimetro del
rettangolo aureo, ad esempio 130
cm, può calcolare la sua area.
- Francesco sostiene che può
calcolare il perimetro del
rettangolo a partire dalla
sua area e da' un esempio
con un'area di 1440 cm2.
Qual e' l'area calcolata da
Alex e qual e' il perimetro
ottenuto da Francesco?
- SPIRALE: Leonardo ha disegnato un
quarto di circonferenza all’interno
di ciascuno dei primi sette quadrati.
Il perimetro del rettangolo
misura136 cm. Qual è la lunghezza
della spirale da A a B? Scrivete la
misura con l’aiuto di PI o con
un’approssimazione al millimetro.
- SPIRALE: Leonardo ha disegnato un
quarto di circonferenza all’interno
di ciascuno dei primi sette quadrati.
Il perimetro del rettangolo
misura136 cm. Qual è la lunghezza
della spirale da A a B? Scrivete la
misura con l’aiuto di PI o con
un’approssimazione al millimetro.
- Francesco sostiene che può
calcolare il perimetro del
rettangolo a partire dalla
sua area e da' un esempio
con un'area di 1440 cm2.
Qual e' l'area calcolata da
Alex e qual e' il perimetro
ottenuto da Francesco?
- Nei regni dalla vita domina sopratutto la spirale aurea che è presente
nella forma di molte conchiglie. L’esempio più bello è il NAUTILUS un
grosso mollusco dei mari tropicali, considerato un fossile vivente
essendo la sua specie antichissima, la cui conchiglia ha la struttura di
una perfetta spirale aurea che gli permette uno sviluppo armonico
della sua forma in maniera ottimale e meno dispendioso possibile.
- I FRATTALI • I frattali sono oggetti
geometrici che replicano la propria
struttura in modo invariato su scale
diverse , e dunque l’ingrandimento o
la riduzione del modello non
producono alcuna modificazione nella
struttura presente. Un ottimo
esempio di frattale sono il fiocco di
neve e la felce: ogni parte di una foglia
di felce riproduce la struttura
dell’intera felce.
- La disposizione dei petali e dei semi in
alcuni tipi di fiori spesso presenta
schemi riconducibili alla spirale aurea
come nel caso del girasole dove stami
e corolle si succedono secondo gli
schemi di due spirali, una in un senso
ed una in un altro. Lo stesso avviene
per l’ananas o per le pigne.
- Uno degli esempi più significativi di utilizzo della sezione aurea in
natura è rappresentato dagli studi sulla disposizione geometrica delle
foglie e dei rami detta FILLOTASSI. Osservando alcune piante si è
scoperto che le foglie si dispongono sul fusto secondo una spirale
vegetativa, in cui l'angolo tra due foglie successive è pressoché
costante ed è di circa 137°. Tale angolo, detto aureo, (Φ in rapporto
con l’angolo giro) garantisce alle foglie di ricevere la luce del sole
senza coprirsi l’una con l’altra.
- Negli ultimi anni è emerso come anche il Sistema Solare mostri
caratteri riconducibili alla serie di Fibonacci. Si è osservato che
tutti i pianeti interni distano dal Sole nelle proporzioni della
successione (Mercurio 1, Venere 2, Terra 3, Marte 5) mentre quelli
esterni disterebbero allo stesso modo rispetto a Giove: (Saturno
1, Urano 2, Nettuno 3, Plutone 5) Anche grazie a questa
coincidenza gli astronomi previdero l'esistenza di Nettuno.
- Da osservazioni sperimentali si è riscontrato che
molte Galassie presentano bracci luminosi di
formazione stellare che si estendono dal centro
seguendo il tracciato di due spirali auree, lo stesso
avviene nella coda delle comete o nella formazione
degli uragani.
- Un’applicazione moderna dei numeri di Fibonacci si può riscontrare
presso la borsa azionistica di Milano. Prendendo spunto dalla serie
Ralph Elson Elliot elaborò una precisa teoria di previsione dei
mercati finanziari con la quale in tempi recenti sono stati anticipati
i più grandi rialzi e i più grandi crolli di borsa. Usando le onde di
Elliot ed i numeri di Fibonacci, il docente universitario G. Migliorino
ha previsto con incredibile precisione il punto minimo del
drammatico ribasso dell’estate del 1998.
- I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel
sistema informatico di molti computer. In
particolare vi è un complesso meccanismo
basato su tali numeri, detto "Fibonacci heap"
che viene utilizzato nel processore Pentium
della Intel per la risoluzione degli algoritmi.
- Per quanto riguarda alcune forme di uso corrente, le carte di credito
e in generale i tesserini plastificati in formato "badge" (86x54mm)
sono ottime approssimazioni di rettangoli aurei. L'arrotondamento
per difetto al millimetro pari è stato fissato per facilitarne la
produzione standardizzata, sebbene la misura più perfetta sarebbe
stata 87,37x54 oppure 86x53,15.
- Il numero aureo è una delle costanti matematiche
predilette dalla natura e, insieme alla successione di
Fibonacci, regola l’armonia del mondo che ci
circonda. Sarà successo a tutti, spero, di rimanere
incantati davanti alla bellezza di una rosa, o
affascinati da un girasole. Il fascino della natura è
frutto della proporzione intrinseca ad essa. Infatti la
natura, seppure imperfetta, tende alla perfezione
matematica. Ma perché proprio Φ? Questo per il
fatto che i sistemi complessi si evolvono secondo il
“principio di minima energia”, cercando di
raggiungere l’equilibrio. E sembra che il numero
aureo, in diversi ambiti della natura, permette
questo. In particolare, esso è presente in molti esseri
viventi, uomo compreso, ma anche nei vegetali, e
contribuisce a creare l’armonia del mondo che ci
circonda, dove il caos è solo un’apparenza, e tutto
tende alla perfezione secondo principi matematici.
Ecco alcuni esempi:
- Il numero aureo è una delle costanti matematiche
predilette dalla natura e, insieme alla successione di
Fibonacci, regola l’armonia del mondo che ci
circonda. Sarà successo a tutti, spero, di rimanere
incantati davanti alla bellezza di una rosa, o
affascinati da un girasole. Il fascino della natura è
frutto della proporzione intrinseca ad essa. Infatti la
natura, seppure imperfetta, tende alla perfezione
matematica. Ma perché proprio Φ? Questo per il
fatto che i sistemi complessi si evolvono secondo il
“principio di minima energia”, cercando di
raggiungere l’equilibrio. E sembra che il numero
aureo, in diversi ambiti della natura, permette
questo. In particolare, esso è presente in molti esseri
viventi, uomo compreso, ma anche nei vegetali, e
contribuisce a creare l’armonia del mondo che ci
circonda, dove il caos è solo un’apparenza, e tutto
tende alla perfezione secondo principi matematici.
Ecco alcuni esempi:
- Per quanto riguarda alcune forme di uso corrente, le carte di credito
e in generale i tesserini plastificati in formato "badge" (86x54mm)
sono ottime approssimazioni di rettangoli aurei. L'arrotondamento
per difetto al millimetro pari è stato fissato per facilitarne la
produzione standardizzata, sebbene la misura più perfetta sarebbe
stata 87,37x54 oppure 86x53,15.
- I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel
sistema informatico di molti computer. In
particolare vi è un complesso meccanismo
basato su tali numeri, detto "Fibonacci heap"
che viene utilizzato nel processore Pentium
della Intel per la risoluzione degli algoritmi.
- Un’applicazione moderna dei numeri di Fibonacci si può riscontrare
presso la borsa azionistica di Milano. Prendendo spunto dalla serie
Ralph Elson Elliot elaborò una precisa teoria di previsione dei
mercati finanziari con la quale in tempi recenti sono stati anticipati
i più grandi rialzi e i più grandi crolli di borsa. Usando le onde di
Elliot ed i numeri di Fibonacci, il docente universitario G. Migliorino
ha previsto con incredibile precisione il punto minimo del
drammatico ribasso dell’estate del 1998.
- Da osservazioni sperimentali si è riscontrato che
molte Galassie presentano bracci luminosi di
formazione stellare che si estendono dal centro
seguendo il tracciato di due spirali auree, lo stesso
avviene nella coda delle comete o nella formazione
degli uragani.
- Negli ultimi anni è emerso come anche il Sistema Solare mostri
caratteri riconducibili alla serie di Fibonacci. Si è osservato che
tutti i pianeti interni distano dal Sole nelle proporzioni della
successione (Mercurio 1, Venere 2, Terra 3, Marte 5) mentre quelli
esterni disterebbero allo stesso modo rispetto a Giove: (Saturno
1, Urano 2, Nettuno 3, Plutone 5) Anche grazie a questa
coincidenza gli astronomi previdero l'esistenza di Nettuno.
- Uno degli esempi più significativi di utilizzo della sezione aurea in
natura è rappresentato dagli studi sulla disposizione geometrica delle
foglie e dei rami detta FILLOTASSI. Osservando alcune piante si è
scoperto che le foglie si dispongono sul fusto secondo una spirale
vegetativa, in cui l'angolo tra due foglie successive è pressoché
costante ed è di circa 137°. Tale angolo, detto aureo, (Φ in rapporto
con l’angolo giro) garantisce alle foglie di ricevere la luce del sole
senza coprirsi l’una con l’altra.
- I FRATTALI • I frattali sono oggetti
geometrici che replicano la propria
struttura in modo invariato su scale
diverse , e dunque l’ingrandimento o
la riduzione del modello non
producono alcuna modificazione nella
struttura presente. Un ottimo
esempio di frattale sono il fiocco di
neve e la felce: ogni parte di una foglia
di felce riproduce la struttura
dell’intera felce.
- Il rapporto più antico usato per
proporzionare gli oggetti è la Sezione
Aurea o costante di Fidia, indicata con la
lettera greca Φ (Phi) = 1,618…, la
incontriamo ovunque e contribuisce non
solo alla bellezza di tutto ciò che ci
circonda ma sopratutto al suo perfetto
funzionare.
- E questo numero Φ l'uomo lo ha
inserito talvolta consapevolmente,
talvolta probabilmente no in alcune
delle sue opere più straordinarie, dal
Partenone di Atene alla piramide di
Cheope nella piana di Giza, tanto da
diventare l’espressione matematica
per eccellenza dell’armonia e della
bellezza.
- E questo numero Φ l'uomo lo ha
inserito talvolta consapevolmente,
talvolta probabilmente no in alcune
delle sue opere più straordinarie, dal
Partenone di Atene alla piramide di
Cheope nella piana di Giza, tanto da
diventare l’espressione matematica
per eccellenza dell’armonia e della
bellezza.
- La sezione aurea è stata definita così solo
nel 1800, durante il rinascimento un largo
contributo alla sua conoscenza e
divulgazione è stato dato dal matematico
Luca Pacioli (1445-1514) con la
pubblicazione del trattato "De Divina
Proportione" illustrato con disegni di
Leonardo da Vinci (1452-1519), ma la sua
storia ha avuto origine nella Grecia
classica attorno al VI secolo a.C ad opera
della scuola pitagorica in una località
dell’Italia meridionale dove oggi rimane in
piedi soltanto una colonna
dell'imponente tempio dedicato alla
dea"Hera Lacinia".
- Ne L’Uomo, Leonardo studia le proporzioni della
sezione aurea secondo i dettami del De architectura
di Vitruvio (80 a.C.–23 a.C.) che obbediscono ai
rapporti del numero aureo. Leonardo stabilì che le
proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico
divide l’uomo in modo aureo.
- Ne L’Uomo, Leonardo studia le proporzioni della
sezione aurea secondo i dettami del De architectura
di Vitruvio (80 a.C.–23 a.C.) che obbediscono ai
rapporti del numero aureo. Leonardo stabilì che le
proporzioni umane sono perfette quando l’ombelico
divide l’uomo in modo aureo.
- Gli antichi greci usavano questa
proporzione per ottenere un'immagine
estetica inserendola in particolar modo
nel rettangolo: il rapporto fra il lato lungo
a e il lato corto b deve essere uguale a Φ
=1,618…: a / b = Φ
- Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un
quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il
rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo.
Dalla proprietà del rettangolo aureo di potersi "rigenerare"
infinite volte, deriva la possibilità di creare al suo interno
una successione infinita di quadrati sempre più piccoli con
fattore Φ di rimpicciolimento. Dall'unione di un'infinità di
quarti di circonferenza tracciati sui quadrati si forma una
spirale infinita che converge verso un punto di fuga che
non raggiungerà mai denominato "l'occhio di Dio".
- Detta anche spirale di Fibonacci (1170 - 1250) a cui è
strettamente legata, infatti se esaminiamo la famosa
successione che porta il suo nome dove ogni termine si
ottiene dalla somma dei due precedenti:
(0+1=1),(1+1=2),(1+2=3),(2+3=5),(3+5=8)... successione di
Fibonacci 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
notiamo che il rapporto tra un numero della serie e il
precedente tende ad assumere il valore costante Φ =
1,618…:
- Solo successivamente si scoprì come la serie numerica, nata
con l'intento di trovare una legge che descrivesse la crescita
di una popolazione di conigli, fosse intimamente legata alla
sezione aurea.
- Solo successivamente si scoprì come la serie numerica, nata
con l'intento di trovare una legge che descrivesse la crescita
di una popolazione di conigli, fosse intimamente legata alla
sezione aurea.
- Detta anche spirale di Fibonacci (1170 - 1250) a cui è
strettamente legata, infatti se esaminiamo la famosa
successione che porta il suo nome dove ogni termine si
ottiene dalla somma dei due precedenti:
(0+1=1),(1+1=2),(1+2=3),(2+3=5),(3+5=8)... successione di
Fibonacci 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
notiamo che il rapporto tra un numero della serie e il
precedente tende ad assumere il valore costante Φ =
1,618…:
- Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un
quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il
rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo.
Dalla proprietà del rettangolo aureo di potersi "rigenerare"
infinite volte, deriva la possibilità di creare al suo interno
una successione infinita di quadrati sempre più piccoli con
fattore Φ di rimpicciolimento. Dall'unione di un'infinità di
quarti di circonferenza tracciati sui quadrati si forma una
spirale infinita che converge verso un punto di fuga che
non raggiungerà mai denominato "l'occhio di Dio".
- La definizione di rapporto aureo ricorre abbastanza frequentemente
in geometria, particolarmente nel pentagono che riproduce Φ cinque
volte e nella stella a cinque punte che riproduce Φ quindici volte,
dove i pitagorici scorsero il rapporto fra la diagonale a e il lato b del
pentagono e fra il lato della punta stellata a e il lato b del pentagono
interno. I pitagorici adottarono come loro simbolo la stella a cinque
punte, ciò può spiegare come il rapporto aureo potesse apparire ai
loro occhi tanto affascinante, pur ignorandone ancora gran parte
delle proprietà matematiche, e giustificando in parte l’alone di
mistero che lo ha avvolto dalla sua scoperta fino ai nostri giorni.
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