Vectores

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Mapa mental sobre los vectores matrices y determinantes en sus expresiones más generales. #UNAD
Henry Tllo Vill
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Henry Tllo Vill
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Vectores
  1. Definición Algebráica: Es la forma en que se representa el vector. Para ello tenemos que se representan de dos formas
    1. Horizontal (Renglón)
      1. Vertical (Columna)
      2. La norma: se define como la distancia entre los puntos A y B que definen el vector, coincidiendo la norma y el módulo AB
        1. La longitud o magnitud: en cualquier representación del vector.
          1. La dirección: El ángulo medido en radianes que forma con el lado + de x
          2. Ángulos Directores:Se forman por el lado positivo de X y deben ser tomados entre 0° y 180° (π)
            1. Vector Unitario: es el proceso por el que normalizamos la magnitud de un vector a 1
              1. Se toma un vector diferente a 0 y su magnitud tambien distinta
                1. Se multiplica por el recíproco de la magnitud, y tenemos:
              2. Propiedades:
                1. Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. A+B=B+A
                  1. Asociativa: la forma de agruparlos no altera el resultado. (A+B)+C = A+(B+C)
                    1. Distributiva: Relaciona la multiplicación y la suma. k(A+B) = kA+kB
                      1. Inverso Aditivo: la suma de un vector y su opuesto es cero. A+(-A)=0
                      2. Operaciones Básicas:
                        1. Suma: Se suma la primera componente de U con la primera de V; y la segunda de U con la segunda de V
                          1. Resta de vectores: Es la suma de U con -V, o sea el opuesto de V
                            1. Producto por escalar: esta multiplicación es KU o K.U. Se deben satisfacer los siguientes aspectos:
                              1. El producto punto es cuando multiplicamos 2 V, el resultado es un escalar
                            2. Vector Base: dos vectores U y V con distinta dirección. Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.
                              1. Matrices
                                1. Resultado de m X n, donde m= renglones; y n= columnas
                                  1. Tipos de matrices:
                                    1. Renglón: Contienen una sola fila de componentes
                                      1. Columna: Compuesta por una sola columna de componentes
                                        1. Rectangular: Son diferentes cantidades de columnas y filas, siendo m X n.
                                          1. Traspuesta: es la que se obtiene de A al cambiar los renglones por columnas.
                                            1. Nula: donde todos los elementos son cero
                                              1. Cuadrada: contiene el mismo número de filas y de columnas
                                                1. Triangular superior: los elementos en la diagonal bajo la principal son cero
                                                  1. Triangular inferior: los elementos por encima de la diagonal principal son cero
                                                    1. Diagonal: los que no esten en la principal son nulos.
                                                      1. Escalar: es una diagonal donde todos sus elementos principales son iguales
                                                        1. Identidad o Unidad: es diagonal donde los elementos de la principal son 1.
                                                          1. Regular: Es una cuadrada que tiene inversa
                                                            1. Singular: No tiene matriz inversa
                                                              1. Idempotente: si A2 es= A. O sea que las potencias siempre den la misma matriz
                                                                1. Involutiva: si A2=1. Solo así es de este criterio
                                                                  1. Simétrica: es cuadrada que verifica: A=At
                                                                    1. Antisimétrica: o hemisimétrica es cuadrada que verifica A=-At
                                                                      1. Ortogonal: Si verifica que A * At = 1
                                                                    2. Suma de matrices: Se obtiene sumando los elementos de las dos matrices en las mismas posiciones
                                                                      1. Propiedades: la suma de 2 matrices da otra matriz de la denotación m X n.
                                                                        1. Asociativa: A+(B+C)= (A+B)+C
                                                                          1. Neutro: A+0= A. Donde 0 es la nula de la misma dimensión de A
                                                                            1. Opuesta: todos los elementos están cambiados de signo
                                                                              1. Conmutativa: A+B = B+A
                                                                            2. Producto: Son multiplicables si las columnas de A coincide con la cantidad en renglon de B
                                                                              1. se multiplica cada elemento de la fila A por los cada elemento de columna B y se suman:
                                                                                1. Propiedadaes:
                                                                                  1. Asociativa: A*(B*C) = (A*B)*C
                                                                                    1. Neutro: A*1 = A
                                                                                      1. No es conmutativa: A*B ≠ B*A
                                                                                        1. Distributiva respecto a la suma: A * (B+C) = A * B+A*C
                                                                                    2. Operaciones Elementales:
                                                                                      1. Cambiar entre sí dos columnas
                                                                                        1. Multiplicar una fila (columna) por un número real distinto a cero
                                                                                          1. Sumar a una fila (columna) otra, multiplicada por uno real
                                                                                            1. Matriz Inversa:
                                                                                              1. Por medio de estas operaciones hasta que el resultado sea A con exponente -1
                                                                                                1. Se obtienen 3 equivalencias: se trianguliza superior e inferiormente y se obtiene 1 en la diagonal principal
                                                                                          2. Determinantes
                                                                                            1. El determinante le asigna a una matriz cuadrada un único número real
                                                                                              1. Propiedades:
                                                                                                1. El det. de una matriz A y su traspuesta At son iguales.
                                                                                                  1. Dos filas y Dos columnas iguales
                                                                                                    1. Todos los elementos de una fila y columna son nulos
                                                                                                      1. Los de un reglón son combinación lineal de los otros
                                                                                                    2. Determinante NxN
                                                                                                      1. Representa todos los productos posibles en los que hay un elemento de cada fila y columna. Son matrices superiores a 3x3
                                                                                                    Show full summary Hide full summary

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