Integrales de funciones de variable compleja

Integrales de funciones de variable compleja

1. Definición

   • Se define en variables de curvas, en el plano complejo, en lugar en lugar de los intervalos de planos complejos, estas curvas son contornos, definidas por una trayectoria.

2. Definiciones necesarias

   • Curva.- Una curva C es un conjunto de puntos z=x+iy. Z(t) es continua porque x(t) y y(t), son continuas, en un intervalo de a<=t<=b
   • Curva suave.- si z'(t)=x'(t)+y'(t)i, existe y es continua en el intervalo a<=t<=b y si z'(t) es distinto de 0.
   • Contorno.- Es una curva que consta de un número finito, de curvas suaves unidas por sus extremos
   • Contorno cerrado simple.- Si C es un contorno simple, es cerrado si los valores inicial y final de z(t), son iguales es decir z(a) y z(b).

3. Formas

   • Integrales de línea
     • f(z) = u(x,y) +iv(x,y) es continua a trozos en C, sus partes reales son u(x,y) y v(x,y)
       • Definición
   • Teorema de Cauchy-Goursat
     • Sea un contorno cerrado siempre, f sea una función analítica, sobre y en el interior de C
       • Es uno de los teoremas más importantes, debido a que nos puede ahorrar mucho trabajo en algunas integraciones
   • Integración indefinida
     • En caso de que el conjunto no sea cerrado, hay otros métodos para resolver a partir de el teorema de Cauchy-Goursat, y que facilita la integración considerada.
       • Principio de independencia de la trayectoria
         • Sea una función f(z), una función analítica, de un dominio conexo D y sea z1 y z2 dos puntos en D. No depende del contorno para ir de z1 a z2
       • Fórmula integral de Cauchy
         • Sea f(z) una función analítica en un dominio conexo en D, sea C un contorno cerrado perteneciente a D. Y sea z0 un punto en el interior de C

4. Integración compleja.

   • Primero se debe considerar integrales de la función compleja w(t) de una variable real. w(t)=u(t)+iv(y). Donde u y v son funciones reales de t.
     • Definición.
       • La integral definida de w(t) en el intervalo a<=t<=b, cuando integrales de u(t) y v(t) existan

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