Teorema del límite central

Ricardo  Gómez Ávila
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Ricardo  Gómez Ávila
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Presentación sobre el teorema del límite central

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Teorema del límite central
1 Suponga que de una población normal con media μ y varianza σ 2 se toma una muestra aleatoria de n observaciones. Cada observación Xi , i = 1, 2,..., n, de la muestra aleatoria tendrá entonces la misma distribución normal que la población de donde se tomó.
1.1 Asi que:
1.1.1 X¯ = 1 n (X 1 + X 2 + ··· + X n )
1.1.2 Tiene una distribución normal con media:
1.1.2.1 μX¯ = 1 n (μ + μ + ··· + μ n términos ) = μ y varianza σ2 X¯ = 1 n2 (σ2 +σ2 + ··· +σ2 n términos ) = σ2 n .
2 Teoría del límite central:
2.1 Si Xˉ es la media de una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una población con media μ y varianza fi nita σ 2 , entonces la forma límite de la distribución de:
2.1.1 Z = X¯ − μ σ/√n , a medida que n → ∞, es la distribución normal estándar n(z; 0, 1).
2.2 Xˉ seguirá siendo una distribución normal exacta, sin importar qué tan pequeño sea el tamaño de las muestras.
2.2.1 La suposición de normalidad en la distribución de Xˉ se vuelve más precisa a medida que n se hace más grande.
2.2.1.1 La varianza de Xˉ se vuelve más pequeña a medida que aumenta n.
2.2.2 n se considera como grande a partir de 30.
3 El error estándar de la media compara la medias que se obtienen de diferentes muestras tomadas de la misma población con la media de N.
3.1 A partir de una muestra de tamaño n, se calculan la media muestral y la desviación estándar. En realidad hay una media verdadera, μ, y una desviación estándar verdadera σ, y son desconocidas. La muestra nos brinda las estimaciones y S. Si hiciéramos muestras repetidamente de la población/proceso del cual se toma la muestra y calculáramos la media muestral una y otra vez, la desviación estándar de la distribución de medias sería el error estándar verdadero de la media. En teoría, esta es la Ecuación:
3.1.1 Aunque en realidad es esta la que obtenemos:
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