Limites

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• Limites
• Emiliano González Rivas
• 2° I
• Vespertino
• NL. 15

Limites

• Empecemos recordando el concepto de limites:
• Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a c, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L.
• Esto se escribe
• limx→c f(x) = L
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Propiedades de los límites

• Tener en cuenta los las propiedades y saber cuales son nos va a permitir calcular algunos de estos límites sin recurrir a tablas o gráficas:
• El límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de las funciones (cuando éstos existen) limx→c [f(x) + g(x)] = L + M
• El límite de una resta de funciones es la resta de los límites de esas funciones (cuando éstos existen) limx→c [f(x) − g(x)] = L − M
• El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de esas funciones (cuando éstos existen) limx→c [f(x)g(x)] = L · M
• El límite de un cociente de funciones es el cociente de los límites de esas funciones (cuando éstos existen y el límite en el denominador es diferente de 0) limx→c f(x)/ g(x) = L M , siempre que M = 0
• El límite de una potencia de una función es la potencia del límite de esa función (cuando éste existe y en caso de que el exponente sea negativo L = 0) Si n es un número entero entonces limx→c [f(x)]^n = L^n . Cuando n es negativo se debe tener que L= 0.
• El límite de la raíz n–ésima de una función es la raíz n–ésima del límite de la función (cuando éste existe y cuando n es par si es mayor o igual que 0) Si n es un número natural entonces limx→c ^n√f(x) = √n L. En caso de que n sea par debemos tener L ≥ 0.

Factorización y simplificación

• Factorización
• Factorizar es expresar un polinomio como producto de otros polinomios.
• Por ejemplo, si usted realiza el producto (x − 2)(x + 3) obtiene como resultado x^2 + x − 6, en otras palabras: x^2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) de manera que (x − 2)(x + 3) es una factorización de x^2 + x − 6, se dice que (x − 2) y (x + 3) son factores de x^2 + x − 6.
• Formulas para factorizar
• x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)(x + y)
• x^2 − y^2 = (x + y)(x − y)
• x^3 + y^3 = (x + y)(x 2 − xy + y^2 )
• x^2 − 2xy + y^2 = (x − y)(x − y)
• x^3 − y^3 = (x − y)(x^2 + xy + y^2 )
• x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
• Simplificación
• Simplificar un cociente de polinomios consiste en factorizar el numerador y el denominador y “tachar” los factores que sean idénticos “arriba” y “abajo” en la fracción. Por ejemplo, x^2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) y x^2 − 4 = (x − 2)(x + 2), entonces
• x^2+x-6/x^2-4=(x-2)(x+3)/(x-2)(x+2)=x+3/x+2
• *En la ultima fracción se tacho el factor comun (x-2)

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• Legenda: Ejemplo de un limite en una gráfica

Métodos para calcular limites

• Se presenta varios ejemplos que ilustran estos procedimientos. En todos los casos se trata de límites indeterminados de la forma 0/0 . Cuando esté calculando límites haga siempre en primer lugar la evaluación porque si el límite no es indeterminado no es necesario realizar las transformaciones por más “extraña” que sea la función.
• Legenda: Primer método: factorizar y simplificar
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• Legenda: Segundo método: racionalizar y simplificar
• Segundo método: racionalizar y simplificar
• En una fracción algebraica que contenga radicales, racionalizar es eliminar el radical del denominador o del numerador. Normalmente el radical no desaparece del todo de la expresión sino que “cambia de lugar".
• Aquí lo más conveniente es racionalizar el denominador; para ello multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracción por √ x + 2.

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• Legenda: Tercer método: combinación de los anteriores

Ejercicio desarrollado