Determinantes

Determinantes

1. Teorema de Laplace

   • I) COFATOR: Seja ? uma matriz quadrada de ordem ? ≥ 2 e seja ??? um elemento de ?. A cada elemento da matriz ??? está associado um número real chamado de cofator. O cofator de ???, denotado por Δ??, é tal que ??? = (−?)?+? ⋅ ???, em que ??? é o determinante da matriz que se obtém de ?, eliminando a ?-ésima linha e ?-ésima coluna.
   • II) O TEOREMA DE LAPLACE: O determinante de uma matriz quadrada de ordem ? ≥ 2 é igual a soma dos produtos dos elementos de uma fila com os seus respectivos cofatores.
     • 1o) Utilizando o teorema de Laplace na linha 3 2o) Calculando o cofator ??? 3o) Calculando o cofator ???  4o) Voltando ao determinante

2. Ordem

   • Ordem 1: O determinante de uma matriz de ordem 1 é igual ao único elemento que compõe essa matriz.
     • • ? = [−2], então det? = −2
   • Ordem 2: O determinante de uma matriz de ordem 2 é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
   • Ordem 1: O determinante da matriz de ordem 3 é calculado utilizando a Regra de Sarrus.
     • 1)Copie ao lado da matriz ? as suas duas primeiras colunas. 2)Multiplique os elementos da diagonal principal. Faça o mesmo, separadamente, para cada “diagonal paralela”. 3) Multiplique os elementos da diagonal secundária, trocando o sinal do produto obtido. Faça o mesmo, separadamente com as suas “diagonais paralelas”.

3. Regra de Chió

   • REGRA DE CHIÓ: A regra de Chió nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem ?, utilizando uma matriz de ordem menor. Obs.3: Para utilizar a regra de Chió o elemento ??? deve ser igual a ?.
     • 1. Destaque os elementos da primeira linha e da primeira coluna das demais. Fazendo o que será orientado à partir do passo 2, você irá obter uma matriz de ordem ? – 1, da qual irá obter o determinante (igual ao da matriz original). 2. Cada elemento restante, pode ser associado a dois elementos – um da primeira linha (mesmo i) e outro da primeira coluna (mesmo j). Subtraia o produto desses elementos associados de cada um dos elementos restantes. Ao final desse passo você terá uma nova matriz, cujo determinante é igual ao da matriz original, porém de ordem ? – 1. Obs.4: O novo determinante poderá ser calculado por qualquer regra ou método já aprendido.
   • MATRIZ DE VANDERMONDE A matriz de Vandermonde, ou matriz das potências, é uma matriz quadrada de ordem ? ≥ 2.
     • Obs.5: Os elementos da segunda linha da matriz de Vandermonde são chamados de elementos característicos. O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças entre os seus elementos característicos (?2? − ?2?), com ? > ?.

4. Matriz Inversa

   • MATRIZ DOS COFATORES: Seja ? uma matriz quadrada de ordem ?. A matriz dos cofatores de ?, ?′, é a matriz em que cada elemento Δ?? é o cofator de cada elemento ??? de ?. Em outras palavras, a matriz ?′ é a matriz que se obtém a partir de ?, substituindo cada elemento de ? pelo seu cofator.
   • MATRIZ ADJUNTA: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz adjunta de A, denotada por Ā é igual a transposta da matriz dos cofatores, ou seja Ā = (A')?. Com a matriz adjunta temos uma segunda forma de se obter a matriz inversa de ?.
   • MATRIZ INVERSA: Seja A uma matriz invertível quadrada de ordem n. A matriz inversa de A é igual a ?- = 1/detA ⋅? Para obter a matriz inversa de ? basta seguir o seguinte passo-a-passo 1o) Calcule o determinante de ?. Lembre-se que se ele for diferente de zero a matriz é inversível. 2o) Obtenha a matriz dos cofatores de ?. 3o) Obtenha a matriz adjunta de ?. 4o) Divida os elementos da matriz ajunta pelo determinante

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