PROBABILIDADES

PROBABILIDADES

1. ¿Qué es?

   • Es el cálculo matemático que evalúa las posibilidades que existen de que una cosa suceda cuando interviene el azar.
     • La probabilidad de que ocurra un evento, siendo ésta una medida de la posibilidad de que un suceso ocurra favorablemente, se determina principalmente de dos formas:
       • Probabilidad empírica
         • Si E es un evento que puede ocurrir cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del evento E, que a veces se le denomina definición de frecuencia relativa de la probabilidad, está dada por la siguiente fórmula:
           • ?(?) = ?ú???? ?? ????? ??? ?????? ?? ?????? ? / ?ú???? ?? ????? ??? ?? ??????ó ?? ??????????o
       • Probabilidad teórica
         • Si todos los resultados en un espacio muestral S finito son igualmente probables, y E es un evento en ese espacio muestral, entonces la probabilidad teórica del evento E está dada por la siguiente fórmula, que a veces se le denomina la definición clásica de la probabilidad, expuesta por Pierre Laplace en su famosa Teoría analítica de la probabilidad publicada en 1812:
           • ?(?) = ?ú???? ?? ?????????? ??????????/ ?ú???? ????? ?? ???????? ?????????? = ?(?)/?(?)
       • Posibilidades
         • Las posibilidades comparan el número de resultados favorables con el número de resultados desfavorables. Si todos los resultados de un espacio muestral son igualmente probables, y un número n de ellos son favorables al evento E, y los restantes m son desfavorables a E, entonces las posibilidades a favor de E son de n(E) a m(E), y las posibilidades en contra de E son de m(E) a n(E)

2. Análisis Combinatorio

   • FACTORIAL
     • Está relacionada con el cálculo del número de maneras en las que un conjunto de cosas puede arreglarse en orden.
       • ?! = ?(? − ?)(? − ?) … … . . ?
   • PERMUTACIONES
     • Se necesita para saber el número de formas en las que un subconjunto de un grupo completo de cosas puede arreglarse en orden.
       • ?? = ?(? − ?)(? − ?) … (? − ? + ?) = ?! / (? − ?)!
   • COMBINACIONES
     • En muchos situaciones no interesa el orden de los resultados, sino sólo el número de maneras en las que r objetos pueden seleccionarse a partir de n cosas, sin consideración de orden
       • n??=(??)=?(?−?)(?−?)…(?−?+?)?!=?!?!(?−?)!

3. Conceptos básicos

   • EXPERIMENTO
     • Es toda acción sobre la cual vamos a realizar una medición u observación, es decir cualquier proceso que genera un resultado definido.
   • EXPERIMENTO ALEATORIO
     • Es toda actividad cuyos resultados no se determinan con certeza
   • ESPACIO MUESTRAL (S)
     • Es un conjunto de todos los resultados posibles que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio
   • PUNTO MUESTRAL
     • Es un elemento del espacio muestral de cualquier experimento dado.
   • EVENTO O SUCESO
     • Es todo subconjunto de un espacio muestral. Se denotan con letras mayúsculas: A, B, etc.
     • Evento cierto
       • Un evento es cierto o seguro si se realiza siempre
         • EJEMPLO: Al introducirnos en el mar, en condiciones normales, es seguro que nos mojaremos.
     • Evento imposible
       • Un evento es imposible si nunca se realiza
         • EJEMPLO: Al lanzar un dado una sola vez, es imposible que salga un 10
     • Evento probable o aleatorio
       • Un evento es aleatorio si no se puede precisar de antemano el resultado
         • EJEMPLO: ¿Al lanzar un dado, saldrá el número 3?

4. Reglas de la probabilidad

   • Teoría de conjuntos
     • Un conjunto es una colección de objetos, los objetos que forman un conjunto se llaman elementos del conjunto
       • CLASES DE CONJUNTOS
         • Por el número de elementos
           • Conjunto vacío o conjunto nulo: Es un conjunto que no tiene elementos
           • Conjunto unitario: Es un conjunto que tiene un solo elemento
           • Conjunto finito: Es aquel que tiene limitado número de elementos
           • Conjunto infinito: Es aquel que tiene ilimitado número de elementos
           • Conjunto universal: Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de un situación particular, generalmente se le representa por la letra U
         • Por la comparación entre conjuntos
           • Conjuntos comparables: Un conjunto A es comparable con otro conjunto B si entre dichos conjuntos existe una relación de inclusión, es decir, A y B son comparables si ? ⊂ B
           • Conjuntos iguales: Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, simbólicamente se escribe así: ? = ? ⇔ ? ⊂ ? ∧ ? ⊂ ?
           • Conjuntos disjuntos o excluyentes: Son aquellos conjuntos que no tienen elementos comunes
           • Conjunto de conjuntos: Es un conjunto cuyos elementos son todos conjuntos
           • Conjunto potencia: Es aquel conjunto que está formado por todos los subconjuntos que es posible formar con los elementos de un conjunto dado.
       • OPERACIONES CON CONJUNTOS
         • Unión o reunión ? ∪ ? = {?/? ∈ ? ∨ ? ∈ ?}
         • Intersección ? ∩ ? = {?/? ∈ ? ∧ ? ∈ ?}
         • Diferencia ? − ? = {?/? ∈ ? ∧ ? ∉ ?}
         • Diferencia simétrica ? △ ? = (? − ?) ∪ (? − ?) = (? ∪ ?) − (? ∩ ?)
         • Complemento ??????????? ?? ? = ? ′ = ? ? = ?̅= {? ∕ ? ∉ ?}
   • REGLA DE LA ADICIÓN DE PROBABILIDADES
     • REGLA GENERAL PARA EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES
       • Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes (eventos intersecantes), es decir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez (al mismo tiempo)
         • ?(???) = ?(?) + ?(?) − ?(???)
     • REGLA PARTICULAR O ESPECIAL PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
       • Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes (eventos no intersecantes), es decir, si la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la del otro, no pueden ocurrir a la vez, o cuando no tienen ningún punto muestral en común (? ∩ ? = ∅)
         • ?(???) = ?(?) + ?(?)
   • REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES
     • REGLA GENERAL PARA EVENTOS DEPENDIENTES
       • Si A y B son dos eventos dependientes, es decir, si la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B
         • ?(???) = ?(?) ∙ ?(?/?)
     • REGLA PARTICULAR O ESPECIAL PARA EVENTOS INDEPENDIENTES
       • Si A y B son dos eventos independientes, es decir, si el conocimiento de la incidencia de uno de ellos no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia del otro
         • ?(???) = ?(?) ∙ ?(?)

5. Probabilidad total

   • Sea ?1, ?2, … . . ?? un sistema completo de eventos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinto de cero, y sea B un evento cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales ?(?/??), entonces, la probabilidad del evento B, llamada probabilidad total, se calcula empleando la siguiente fórmula:
     • ?(?) = ?(?? ) ∙ ?(?/?? ) + ?(?? ) ∙ ?(?/?? ) + ⋯ ?(??) ∙ ?(?/??)

6. Teorema de Bayes

   • s se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información. Desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVII, el teorema de Bayes es una extensión de lo que ha aprendido hasta ahora acerca de la probabilidad condicional.
     • ?(??/?) = ?(??) ∙ ?(?/??)/?(?)

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