FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

1. Dada una función cuadrática, hallar el dominio y el rango. Identifique el dominio de cualquier función cuadrática como todos los números reales. Determine si 𝑎 es positivo o negativo. Si los valores de 𝑎 es positivo, la parábola tiene un mínimo. Si los valores de 𝑎 es negativo, la parábola tiene un máximo. Determine el valor máximo o mínimo de la parábola, 𝑘. Si la parábola tiene un mínimo, el rango viene dado por 𝑓⁡(𝑥)≥𝑘, o [𝑘,∞). Si la parábola tiene un máximo, el rango viene dado por 𝑓⁡(𝑥)≤𝑘, o (−∞,𝑘].

   • Dada una aplicación que implique ingresos, utilizar una ecuación cuadrática para calcular el máximo. Escriba una ecuación cuadrática para los ingresos. Halle el vértice de la ecuación cuadrática. Determine el valor de y del vértice.

2. La forma general de una función cuadrática presenta la función en la forma 𝑓⁡(𝑥)=𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐 donde 𝑎,𝑏, y 𝑐 son números reales y 𝑎≠0. Si 𝑎>0, la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de 𝑎<0, la parábola se abre hacia abajo. Podemos utilizar la forma general de una parábola para hallar la ecuación del eje de simetría. El eje de simetría está definido por 𝑥=− 𝑏 2⁢𝑎 . Si utilizamos la fórmula cuadrática, 𝑥= −𝑏±√𝑏2−4⁢𝑎⁢𝑐 2⁢𝑎 , para resolver 𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐=0 para las intersecciones en 𝑥 , o ceros, hallamos que el valor de 𝑥 a mitad de camino siempre es 𝑥=− 𝑏 2⁢𝑎 , la ecuación del eje de simetría.

   • La forma estándar y la forma general son métodos equivalentes para describir la misma función. Podemos verlo al ampliar la forma general y hacerla igual a la forma estándar. 𝑎⁢(𝑥−ℎ)2+𝑘=𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐 𝑎⁢𝑥2−2⁢𝑎⁢ℎ⁡𝑥+(𝑎⁢ℎ2+𝑘)=𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐
     • Formas de las funciones cuadráticas La función cuadrática es una función de grado dos. El gráfico de la función cuadrática es una parábola. La forma general de la función cuadrática es 𝑓⁡(𝑥)=𝑎⁢𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐 donde 𝑎,𝑏, y 𝑐 son números reales y 𝑎≠0. La forma estándar de la función cuadrática es 𝑓⁡(𝑥)=𝑎⁢(𝑥−ℎ)2+𝑘. El vértice (ℎ,𝑘) está localizado en ℎ=– 𝑏 2⁢𝑎 ,𝑘=𝑓⁡(ℎ)=𝑓⁡( −𝑏 2⁢𝑎 ).

3. El gráfico de una función cuadrática es una curva en forma de U, denominada parábola. Una característica importante del gráfico es que tiene un punto extremo, denominado vértice. Si la parábola se abre, el vértice representa el punto más bajo en el gráfico o el valor mínimo de la función cuadrática.

   • Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa el punto más alto en el gráfico o el valor máximo. En cualquier caso, el vértice es un punto de inflexión en el gráfico. El gráfico también es simétrico, con una línea vertical trazada a través del vértice, denominada eje de simetría.
     • La intersección en y es el punto en el cual la parábola cruza el eje y. Las intersecciones en x son los puntos en los que la parábola cruza el eje x. Si existen, las intersecciones en x representan los ceros, o raíces, de la función cuadrática, los valores de 𝑥 en los que 𝑦=0.

4. Dada una función cuadrática, hallar la intersección en 𝑥 al reescribir en forma estándar. Sustituya 𝑎 y 𝑏 en ℎ=− 𝑏 2⁢𝑎 . Sustituya 𝑥=ℎ en la forma general de la función cuadrática para hallar 𝑘. Reescriba la cuadrática en forma estándar con ℎ y 𝑘. Resuelva cuándo la salida de la función será cero para hallar las intersecciones en 𝑥 .