INTEGRACIÓN

INTEGRACIÓN

1. que es

   • Integrar es el proceso reciproco de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x)

2. Propiedad

   • si F(x) es una antiderivida de la función continua f(x), entonces cualquier ota antiderivada tiene la forma G(x)=F(x)+C

3. consta de

   • REGLAS
     • Regla de la potencia: ∫x^n dx= (x^n+1/n+1) +C (para n diferente de -1)
     • Regla logarítmica: ∫1/x dx= ln|x| +C (para x diferente de 0)
     • Regla de la constante: ∫k dx= kx + C (k constante)
     • Regla exponencial: ∫ e^kx =1/k(e^kx) +C (para k diferente de 0)
   • APLICACIONES
     • Problemas de valor inicial
       • por ejemplo
         • un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en el mostrador para que se descongele, cuando se saca, la temperatura de la carne de -4°C y t horas más tarde se incrementa a una tasa de T¨(t)= e^0,35t. Determine la formula pata T de la carne despues de t horas.
     • Variación Total
       • por ejemplo
         • Una sustancia química fluye en un tanque a razon de 180t 3t litros por hora donde 0<t<10, Encontrar la cantidad de la sustancia liquida que fluye en el tanque durante: la primera y durante la segunda hora
     • Valor Promedio: si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:
       • por ejemplo
         • la altura de H(t) de una palmera esta dada por H(t)= t+1+5t^1/3 para este intervalo 0<t<8. determine la altura de la palmera si t=0,48. Determine el promedio de la altura si 0<t<8
   • METODOS
     • Integral Indefinida:∫ f(x) dx= F(x) +C, es indefinida porque contiene una constante C que puede tomar cualquier valor. Donde ∫ es el símbolo de la integral, f(x) es el integrando, C es la constante de integración
       • por ejemplo
         • ∫(2x^2+3)^2dx =∫(4x^4+12x^2)+9 =4 x^5/5 + 12 x^3/3+9x +C =4 x^5/5 +4x^3+9x+C
     • Ecuación diferencial: contiene diferenciales o derivadas, y la función que satisface este tipo de ecuaciones es llamada solución. El tipo más simple de ecuación diferencial tiene la forma: dQ/dx= g(x). Este tipo de ecuación se resuelve encontrando la ∫ g(x)dx
       • por ejemplo
         • dy/dx=x^2+3x y=∫ (x^2+3x) dx =1/3x^3+3/2x^2+C
     • Integración por sustitución: se basa en la derivada de la función compuesta. ∫ f´ (u)*u´ dx= F(u)+C. Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
       • por ejemplo
     • Integral Definidadada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
     • Integración por partes:El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
       • • caso 1: En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.
           • por ejemplo
         • caso 2: Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.
           • por ejemplo
         • caso 3 Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.
           • por ejemplo
     • Area bajo una curva
       • por ejemplo
         • Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.
     • Teorema fundamental del calculo:dice que la derivada de la función integral de la función continua f(x) es la propia f(x). F'(x) = f(x) El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas. Al integrar una función ccontinua y luego derivarla se recupera la función original.
       • por ejemplo
     • Integración de Funciones Trignometricas
       • caso2 sen^nx cos^mdx
         • por ejemplo
       • caso 3 sen ^nxdx, cos^nxdx, sen^nxcos^nxdx
         • por ejemplo
       • caso 1 sen^nxdx cos^nxdx (n entero positivo impar)
         • por ejemplo
     • integración por sustitución de Funciones Trigonometricas
       • caso 1 ax^2+b^2; x=b/a tan dx= b/a sec d
         • por ejemplo
           • dx / x^2*16
       • caso 2 ax^2-b^2; x=b/a sec dx=b/a sec tan d
         • por ejemplo
           • dx/ x^3 x^2-9
       • caso 3 b^2-ax^2 ; x=b/a sen dx=b/a cos
         • por ejemplo
           • 1/ 1-x^2
     • Integración por Fracciones Parciales
       • caso 1 factores lieanles ax+b del denominador de una fraccion racional propia corresponde a una fraccion de la forma A/ax+b siendo A una constante a determinar
         • por ejemplo
           • 1/(x+3)(x-2)
       • caso 2 factores lineales iguales ax+b que figure n veces en el denominador de una fraccion racional propia le corresponde una suma de n fracciones de la forma A1/ax+b + A2/(ax+b)^2.......An/(ax+b)^n siendo A una constante a determinar
         • por ejemplo
           • 6x^2-14x-27/(x+2)(x-3)^2
       • caso 3, factores cuadraticos distintos, a cada factor cuadritico reducible ax^2+bx+c que figure en el denominador de una fraccion racional propia, le corresponde una fracción de la forma Ax+b/ax^2+bx+c siendo A y B constantes sin determinar
         • por ejemplo
           • 2x+3/(x-1)^2
       • caso 4 factores cuadraticos iguales, a cada factor cuadratico reducible ax^2+bx+c que se repita n veces en el denominador de una fraccion racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma A1x+b1/ax^2+bx+c +....+ Anx +bn /(ax^2+bx+c)^n siendo A y B constantes sin determinar
         • por ejemplo
           • 2x^2+3/(x^2+1)^2

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