Derivadas parciales

Derivadas parciales

1. En general, si f es una función de dos variables x y y, supongamos que sólo hacemos variar x mientras mantenemos fija a y, digamos y ! b, donde b es una constante. Entonces estamos considerando en realidad una función de una sola variable x, a saber, t(x) ! f (x, b). Si t tiene derivada en a, entonces se denomina derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) y la denotamos con fx(a, b).

   • Si f es una función de dos variables, sus derivadas parciales son las funciones fx y fx definidas por
     • Las notaciones para las derivadas parciales si Z: f(x,y) escribimos:

2. Plano Tangente

   • Suponga que una superficie S tiene por ecuación a z ! f (x, y), donde las primeras derivadas parciales de f son continuas, y sea P(x0, y0, z0) un punto sobre S. Entonces, el punto P se encuentra tanto en C1 como en C2. Sean T1 y T2 las rectas tangentes a las curvas C1 y C2 en el punto P. Entonces, el pla no tangente a la superficie S en el punto P se define como el plano que contiene las rectas tangentes T1 y T2

3. o

4. Vector gradiente

   • Si f es una función de dos variables x y y, entonces el gradiente de f es la función vectorial definida por
     • Con esta notación para el vector gradiente, podemos escribir la expresión para la deri vada direccional como

5. Máximos y mínimos

   • Una función de dos variables tiene un máximo local en (a, b) si f(x, y) ' f(a, b) cuando (x, y) está cerca de (a, b). [Esto significa que f (x, y) ' f (a, b) para todos los puntos (x, y) en algún disco con centro (a, b).] El número f (a, b) recibe el nombre de valor máximo local. Si f (x, y) ( f (a, b) cuando (x, y) está cerca de (a, b), entonces f tiene un mínimo local en (a, b) y f (a, b) es un valor mínimo local.
     • Si f tiene un máximo local o un mínimo local en (a, b) y las deri vadas parciales de primer orden de f existen ahí, entonces fx(a, b) ! 0 y fy(a, b) ! 0.
   • Máximos y mínimos absolutos
     • En el caso de una función f de una variable el teorema del valor extremo establece que si f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un valor mínimo absoluto y un valor máximo absoluto.
       • Hay una situación similar en el caso de las funciones de dos variables. Al igual que un intervalo cerrado contiene sus extremos, un conjunto cerrado en !2 es uno que contiene todos sus puntos frontera. [Un punto frontera de D es un punto (a, b) tal que todo disco con centro (a, b) contiene puntos en D y también puntos que no están en D.]

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