Teoría de Conteo

Teoría de Conteo

1. Usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar

   • Calculadora de Combinaciones y Permutaciones
     • http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones-calculadora.html

2. Principio de multiplicación

   • Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.
     • ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?
       • Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios
         • 10 x 9 x 8= 720
           • ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.
             • 26 x 25 (las 2 letras) x 10 x 9 x 8 = 468000
               • Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc
                 • 5 x 4 x 1 x 3 x 2 x 2 x 3 x 1 x 4 x 5 = 14400

3. Permutación

   • Tiene orden
   • PP Permutación... Posición
   • Repetición
     • Una cerradura que se puedan repetir los números "333"
       • Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas
         • n × n × ... (r veces) = n(elevado a)r
           • Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección (ya que se puede repetir) , y así.
             • Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir: (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos 10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
   • Sin Repetición
     • Los tres primeros puestos en una carrera, dos personas no pueden quedar de primeras
       • Se reduce el número de opciones en cada paso
         • Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez
           • Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería: 16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
             • Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente: 16 × 15 × 14 = 3360
               • Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
               • ¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
                 • Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían: 16! = 20,922,789,888,000
                   • Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

4. Combinación

   • No tiene orden
   • Repetición
     • Monedas en un bolsillo "500, 500, 200, 100, 50, 50"
       • banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?
         • Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas. El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!
         • Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!
           • Ahora puedes escribirlo como: (la flecha es saltar, el círculo es tomar)
             • • OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos"
             • Como los ejemlos anteriormente dados:
               • OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos"
                 • Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º)
                   • Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan círculos
                     • Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos.
                       • • Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la misma...
                           • • ¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
   • Sin Repetición
     • Números de lotería "33, 2, 14, 15 ,27"
       • Sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
         • Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!" ... o mejor todavía... ¡Recuerda la fórmula!

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