Matriz

Matriz

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   • Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas - A las matrices se les nombran con letras mayúsculas: A, B, C,D,F
     • A esta matriz se le define An×m Dependiendo del numero de columnas y filas
     • Tipos de matrices
       • Segun su forma
         • Matriz Fila
           • Es de la forma 1 x n
         • Matriz columna
           • Es de la forma m × 1
         • Matriz cuadrada
           • Tiene el mismo numero de filas y comlumnas nxn
             • -El conjunto de los valores de la diagonal se les denomina diagonal principal
               • -Y la diagonal que empieza desde el primer numero de la izquierda se denomina diagonal secundaria
         • Matriz traspuesta
           • Esta matriz se obtine coambiando las filas por columnas y se reprecenta por At
         • Matriz simétrica
           • Una matriz es simétrica cuando su traspuesta es igual ala original A = At
             • A la vez si matriz no es cuadrada esta nunca sera simétrica
       • Por sus elementos
         • Matriz nula
           • Los elementos que la forman son solo 0
         • Matriz diagonal
           • Todos los valores de la matriz son 0 , excepto su diagonal principal que tiene valores
         • Matriz escalar
           • Esta es una matriz diagonal pero los elementos de su diagonal son iguales
         • Matriz identidad Id
           • Es una Matriz diagonal pero sus elementos de la diagoanal son 1
         • Matriz triangular
           • superior
             • Los elementos por encimade la diagonal principal son nulos.
               • Inferior
                 • Los elementos por debajo la diagonal principal son nulos.
     • Operaciones con matrices
       • Suma de matrices
         • Los elementos de la misma dimensión se suman con los elemntos de la otra matriz formando unanueva matriz compuesta de la suma de sus elementos
           • Propiedades
             • Propiedad asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
               • Propiedad conmutativa: A + B = B + A.
                 • Existencia de elemento neutro: La matriz nula, A + 0 = A
                   • La existencia de opuesto: La matriz −A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta, ya que A + (−A) = 0
         • Diferencia de Matrices
           • La diferencia de las matrices A y B se representa por A − B , y se define del siguiente modo:
             • A − B := A + (−B) = (aij − bij ).
         • la suma y la diferencia de dos matrices no está definida si sus dimensiones son diferentes
       • Producto de matrices por un número
         • El producto de una matriz por un numero real
           • Este numero real se multiplica por cada uno de los elementos de la matriz y asi para formar una nueva matriz
             • Propiedades
               • Primera propiedad distributiva: α (A + B) = α A + α B.
                 • Segunda propiedad distributiva: (α + β) A = α A + β A.
                   • Propiedad asociativa mixta: α (β A) = (α β) A.
                     • Existencia de elemento neutro: 1 · A = A
               • Simplificativas
                 • . A + C = B + C es equivalente a A = B;
                   • α A = α B es equivalente a A = B si α 6= 0;
                     • α A = β A es equivalente a α = β si A 6= 0.
       • Producto de dos matrices
         • Esta se obtiene multiplicando escalarmente la primera fila de la matriz A por la columna de la matriz B y asi sucesivamente hasta tener una nueva matriz
           • El producto de matrices verifican las siguientes propiedades
             • Propiedad asociativa: Am×n (Bn×p Cp×q) = (Am×n Bn×p) Cp×q.
               • El producto de matrices en general no es conmutativo, es decir A B 6= B A
                 • Existencia de elemento neutro: La matriz identidad Id. Para cualquier matriz cuadrada A de orden n, se tiene que A · Idn = Idn · A = A.
                   • Dada una matriz A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A B = B A = Idn.
                     • Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A, y se designa por A−1
                     • El producto de matrices es distributivo con respecto de la suma de matrices, es decir A (B + C) = A B + A C.
                       • Para no equivocarse
                         • A B = 0 no implica necesariamente que A = 0 o B = 0.
                           • A B = A C no implica necesariamente que B = C
                             • (A ± B) 2 no es necesariamente igual a A2 + B2 ± 2 A B.
                               • (A + B)(A − B) no es necesariamente igual a A2 − B2 .
       • Matriz inversa
         • Una matriz inversa existe si su determinate es DIFERENTE DE 0
           • Dada una matriz A de orden n, si existe otra matriz cuadrada B del mismo orden n tal que
             • A B = B A = Idn,
               • B es la matriz inversa de A, y se designa por A−1 .
                 • Una matriz cuadrada que tiene inversa se dice que es regular o inversible y si no tiene inversa es llamada singular
     • Rango de una matriz
       • Dada una Matriz A ∈ Mn×m se define el rango de A como el número de filas o columnas linealmente independientes
         • Proposición si A es una matriz de orden m × n no nula se cumple que
           • 1 ≤ rg(A) ≤ min{m, n}.
             • Cálculo del rango por Gauss
               • Se puede suprimir filas o columnas nulas, proporcionales a otras, dependientes de otras y el rango no va a variar
                 • Tambien se puede realizar las siguientes operaciones y el rango no se vera afectado
                   • Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero.
                     • . Sumar o restar una fila (o columna) a otra.
                       • Con estos procesos podremos llegar a una matriz escalonada que indica el número de filas o columnas linealmente independientes

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