Derivadas Parciales

Derivadas Parciales

1. Derivadas Parciales de segundo orden

   • Derivadas Parciales de segundo orden mixtas
     • El orden de derivación se lee de izq. a derecha
     • El orden de derivación se lee de derecha a izq.
   • Teorema de Schwarz
     • Es decir, sus segundas derivadas parciales mixtas son iguales
       • Para encontrar las segundas derivadas parciales, primero se encuentran las primeras derivadas respecto a cada variable (2 funciones si son 2 variables)
         • Después se vuelve a derivar respecto a la misma variable cada derivada parcial (serán 4 funciones si nos piden derivadas de segundo grado mixtas)
       • Para comprobar que se cumple:
         • Se obtienen las primeras derivadas parciales
           • Luego se obtienen las derivadas parciales de segundo orden mixtas

2. Derivación Implícita

   • Se derivan ambos lados respecto a x
     • A "y" se trata como una constante, pero a "z" como una función de x
       • De esa expresión se despeja la derivada parcial de z, quedando:

3. Plano Tangente

   • Es el análogo tridimensional de una recta tangente
     • Si se tiene F(x,y,z)=c (una superficie de nivel) y P(x0,y0,z0) es un punto en su gráfica, donde su gradiente sea diferente de 0, una ecuación del plano tangente es:
       • Primero se iguala la ecuación a 0, si no está "z" la función se iguala a z, después se calculan las derivadas parciales respecto a cada variable
         • Se evalúa en cada derivada el punto P, si no está "z" al principio y solo tenemos el punto (x,y) se evalúa en la función y de ahí se obtiene el punto z, después se usa la fórmula

4. Derivada Direccional

   • Sirve para encontrar la tasa de cambio de f en cualquier dirección. Entonces es la derivada de control de movimiento.
     • Para definirla se utiliza el operador nabla
       • De esa manera se obtiene el gradiente, que es el vector de derivadas parciales de f.
         • Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P en la dirección dada por un vector. Nos dicen a donde movernos
           • Para obtener la derivada direccional, primero se obtiene el gradiente de la función, luego el módulo del vector para ver que sea unitario o convertirlo, se multiplica el gradiente por el vector u.
             • Si nos piden la derivada direccional en un punto, es mejor evaluar este en el gradiente. Si no dan el vector u, con el ángulo se construye a partir de la identidad pitagórica

5. Dirección de Máximo y mínimo cambio

   • Para saber en que dirección cambia más rápido o lento, el valor máximo y mínimo de la derivada direccional.
     • Para el valor máximo se obtiene el módulo del gradiente, el valor mínimo es el módulo del gradiente por (-1)
       • Primero se calcula el gradiente, luego se evalúa en el punto dado (está es la dirección de máximo/mínimo incremento.
         • Después, para obtener la tasa/ritmo de crecimiento se obtiene el módulo del gradiente

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