Transformación de funciones

Transformación de funciones

1. Alargamiento y contracción horizontales

   • Desplazamiento vertical
     • Sumar una constante a una función desplaza verticalmente su gráfica; hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si es negativa. En general, suponga que conocemos la gráfica de y = f (x). ¿Cómo obtenemos de ella las gráficas de lo siguiente? y f1x2 c y y f1x2 c 1c 02 La coordenada y de cada punto en la gráfica de y=f (x) + c está c unidades arriba de la coordenada y del punto correspondiente en la gráfica de y=f (x). Por tanto, obtenemos la gráfica de y = f (x) + c simplemente desplazando la gráfica de y= f (x) hacia arriba c unidades. Del mismo modo, obtenemos la gráfica de y = f (x) 2 c desplazando la gráfica de y= f (x) hacia abajo c unidades.
   • Ahora consideramos la contracción y alargamiento horizontales de gráficas. Si conocemos la gráfica de y= f (x), entonces ¿cómo está relacionada con ella la gráfica de y= f (x)? La coordenada y de y= f (x) en x es la misma que la coordenada y de y= f (x) en x. Por lo tanto, las coordenadas x de la gráfica de y= f (x) corresponden a las coordenadas x de la gráfica de y= f (x) multiplicada por c. Viendo esto a la inversa, observamos que las coordenadas x de la gráfica de y= f (x) son las coordenadas x de la gráfica de y= f (x) multiplicada por 1/c. En otras palabras, para cambiar la gráfica de y= f (x) a la gráfica de y f (x), debemos contraer (o alargar) la gráfica horizontalmente en un factor de 1/c, como se resume en el siguiente recuadro.

2. Alargamiento y contracción verticales

   • Suponga que conocemos la gráfica de y= f (x). ¿Cómo la usamos para obtener la gráfica de Y= f (x)? La coordenada y de y= f (x) en x es igual que la coordenada y correspondiente de y= f (x) multiplicada por c. Multiplicar las coordenadas por c tiene el efecto de alargar o contraer verticalmente la gráfica en un factor de c.

3. Funciones pares e impares

   • Si una función f satisface f (-x) = f (x) para todo número x en su dominio, entonces f recibe el nombre de función par. Por ejemplo, la función f (x) = x2 es función par porque F (-x) = (-x)2 = (-1)2 x2 = x2 = f (x) La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y (vea Figura 11). Esto significa que si hemos trazado la gráfica de f para x ≥ 0, entonces podemos obtener toda la gráfica simplemente al reflejar esta parte en el eje y. Si f satisface f (2x) 2f (x) para todo número x en su dominio, entonces f se denomina función impar. Por ejemplo, la función f (x) x3 es impar porque F (-x) = (-x)3 = (-1)3 x3 = x3 = f (x) La gráfica de una función impar es simétrica alrededor del origen (vea Figura 12). Si hemos trazado la gráfica de f para x ≥ 0, entonces podemos obtener toda la gráfica al girar esta parte 180* alrededor del origen. (Esto es equivalente a reflejar primero en el eje x y luego en el eje y.)

4. Desplazamiento horizontal

   • Suponga que conocemos la gráfica de y = f (x). ¿Cómo la usamos para obtener las gráficas de lo siguiente? y = f (x + c) y y= f(x – c) (c > 0) .El valor de f (x 2 c) en x es igual que el valor de f (x) en x 2 c. Como x 2 c está c unidades a la izquierda de x, se deduce que la gráfica de y = f (x 2 c) es justo la gráfica de y = f (x) desplazada a la derecha c unidades. Un razonamiento similar muestra que la gráfica de y = y = f (x) desplazada a la izquierda c unidades. El siguiente cuadro resume estos datos.

5. Gráficas que se reflejan

   • Suponga que conocemos la gráfica de y = f (x). ¿Cómo la usamos para obtener las gráficas de y = f (x) y y= f (2)? La coordenada y de cada uno de los puntos en la gráfica de y= 2f (x) es simplemente el negativo de la coordenada y del punto correspondiente en la gráfica de y = f (x). Por lo tanto, la gráfica deseada es la reflexión de la gráfica de y= f (x) en el eje x. Por otra parte, el valor de y= f (x) en x es igual al valor de y= f (x) en –x, por lo que la gráfica deseada aquí es la reflexión de la gráfica de y= f (x) en el eje y. En el siguiente recuadro se resumen estas observaciones.

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