Operaciones con números complejos

Operaciones con números complejos

1. Suma

   • Dados dos números complejos, se define la suma como otro número complejo
     • ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + i( b + d )
       • En la practica
         • a + c + ( b + d ) i
   • Propiedades
     • Asociativa
       • El resultado de una operación es independiente de la agrupación de sus numeros
     • Elemento neutro
       • Existe un numero 'z1' en C tal que sumado con otro numero 'z2' en C, dará como resultado el mismo numero 'z1'.
         • z1 + z2 = z2
           • z1 = 0 + 0i = 0
           • z2 = a + bi
     • Conmutativa
       • El resultado de la operación suma es independiente del orden en que se encuentren los sumandos.
         • z1 = a + bi z2 = c + di
           • z3 = ( a + bi ) + ( c + di )
           • z3 = ( c + di ) + ( a + bi )
           • z3 = ( bi + a ) + ( di + c )
     • Inverso aditivo / Elemento simétrico / Opuesto
       • Existe un numero z1 en C tal que sumado con otro numero z2 en C, el resultado sera 0.
         • z1 = - ( a + bi )
         • z2 = a + bi
           • z3 = z1 + z2 = 0
       • Dada esta afirmación, se puede demostrar
         • Resta
           • Definición simbolica
             • z1 + z2 = ( a + bi ) - ( c + di )
               • z1 + z2 = ( a + bi ) + ( - ( c + di ) )
                 • z1 + z2 = ( a + bi ) + ( - c - di )
           • ( a + bi ) - ( c + di )
             • ( a - c ) + ( b - d ) i

2. i = sqrt( -1 )

   • i^2 = -1

3. Producto

   • Dado nos números complejos, su producto sera igual a otro numero complejo z3.
     • z1 = a + bi z2 = c + di
       • z3 = z1 * z2 = ( a + bi ) * ( c + di )
         • z3 = ( ac - bd ) + ( ad + bc )i
   • Ejemplo: ( 3 - 2i )*( 4 + 7i )
     • ( 3*4 - ( -2 )*7) + ( 3*7 + ( -2 )*4 )i
       • ( 12 + 14 ) + ( 21 - 8 )i
         • 26 + 13i
   • Propiedades
     • Asociativa
       • z1 = a + bi z2 = c + di z3 = e + fi
         • z1 * z2 * z3 = [ ( a + bi ) * ( c + di ) ] * ( e + fi )
           • = ( a + bi ) * [ ( c + di ) * ( e + fi ) ]
     • Elemento neutro
       • Elemento: z1 = 1 = 1 + 0i
         • z2 = a + bi
           • ( z2 ) * 1 = ( z2 ) * ( 1 + 0i )
             • = ( a + bi )( 1 ) = ( a + bi ) * ( 1 + 0i )
               • = a + bi
     • Inverso multiplicativo
       • Dado un numero C, existe su inverso en C y su producto es igual a 1
         • ( a / ( a^2 + b^2 ) , -b / ( a^2 + b^2 )
           • [ ( a / ( a ^ 2 + b ^ 2 ) ) - ( b / ( a ^ 2 + b ^ 2 ) ) ] * ( a + bi ) = 1
         • Demostración en el cuaderno.
         • Dado que cualquier numero C no nulo, existe su inverso, se puede definir:
           • División
             • Colocar el denominador con potencia negativa y remplazarlo por su equivalente al inverso; efectuar producto
             • Multiplicar denominador y numerador, por el conjugado del numerador.
       • ( a + bi ) ^ -1
     • Conmutativa
     • Distributiva respecto de la suma
       • ( a + bi ) [ ( c + di ) + ( e + fi ) ]
         • = ( a + bi ) ( c + di ) + ( a + bi ) ( e + fi )
     • Elemento idéntico multiplicativo
       • z = 1 + 0i = 1