Sachrechnen Vorlesung 3

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Übergeordnete Leitfragen für MU:	Welche Lernziele werden verfolgt? Was ist für SuS ansprechend/interessant/motivierend?  Daraus versch. Kriterien zur Typisierung/Klassifikation von Aufgaben des Sachrechnens: - Mathematische Inhalte, Sachkontext, Aktivitäten beim Lösen, Schwierigkeitsgrad, Präsentationsform (Bildaufgaben, Textaufgaben, ..)Art/Grad der Offenheit einer Aufgabe, Art des verwendeten Modells, Umfang in Aufgabenstellung/Aufgabentext - Aufgaben können zu mehreren Kategorien gehören oder Mischformen darstellen - Mathematische Inhalte sind: Arithmetik/Algebra, Geometrie, Stochastik, Funktionen
Klassifikation nach Radatz&Schipper:	1. Eingekleidete Aufgaben (In Worte gefasste Aufgabenkonstruktionen ohne konkreten Realitätsbezug) 2. Textaufgaben (In Textform dargestellte Aufgaben, bei denen die Sache weitgehend bedeutungslos und austauschbar ist.) /Kritik: sie ist nicht unbedingt bedeutungslos und austauschbar\ 3. Sachaufgabe/Sachaufgabenproblem (Sache ist von großer Bedeutung, da sie selbst mitdiskutiert wird, sie liefert nur die Hilfsmittel zu ihrer Bearbeitung)
Eingekleidete Aufgaben	Anwendung und Übung von Rechenfertigkeiten, • Befähigung zum korrekten Gebrauchen mathematischer Fachbegriffe, • Beitrag zur Vertiefung des Verständnisses der Rechenoperationen und der Zusammenhänge zwischen ihnen, • Beitrag zur Entwicklung des Sinn verstehenden Lesens.
Textaufgaben:	Förderung mathematischer Fähigkeiten (klassisches Hauptziel), • Übersetzen lernen (Daten erfassen und in mathematische Objekte (Terme oder Gleichungen) übersetzen, • einfache Mathematisierungen können mit Hilfe von Textaufgaben eingeübt werden (Dreisatz beim Vergleich von Preisen beim Einkaufen), • Interpretieren lernen: Antwortsatz muss Antwort auf math. Prozesse liefern, die interpretiert wurden
Unterschied zw. Eingekleideten und Sachaufgaben im Modellprozess:	- Eingekleidete Aufgaben haben keinen bestimmten Bezug zu einer Situation, weshalb sie auch keine oder wenig Interpretationsspielraum bietet
Übersicht zu den klassischen Aufgabentypen:	Image: Image (binary/octet-stream)
Kritik an Aufgabentypisierung nach Radatz&Schipper:	- Einteilung nicht mehr zeitgemäß (es gibt viel mehr versch. Aufgabentypen) - Einteilung sehr grob (Sachproblem ließen sich noch weiter untergliedern) - Die Sache bei Textaufgaben oft nur scheinbar „bedeutungslos und austauschbar - Auch bei Sachaufgaben kann das Ziel die Erarbeitung eines mathematischen Inhaltsbereiches im Vordergrund stehen
Nicht klassische Aufgabentypen:	- Kapitänsaufgaben, Schätzaufgaben, Fermi-Aufgaben, Knobelaufgaben
Beispiel zur Bedeutung der Sache bei Textaufgaben:	Anna geht zum Bäcker und kauft 3 Brötchen zu je 20 Cent. Wie viel muss sie bezahlen?“ – Für Kinder kann es bedeutsam sein, zu lernen, wie teuer Brötchen sind.
Unterscheidung nach der beschriebenen Situation nach Franke:	Sachaufgaben zu realen Situationen • einfache Sachaufgaben • Sachprobleme • Sachtexte • Projekte – Sachaufgaben zu fiktiven Situationen • Sachaufgaben mit Märchen- und Fantasiefiguren • Denk- und Knobelaufgaben • Scherz- und Kapitänsaufgaben • Sachaufgaben in Kinderbüchern
Überblick Aufgabentyp und Art der P Prozessorientierung	Image: Image (binary/octet-stream)
Überblick Aufgabentyp und Art der P Prozessorientierung 2	Image: Image (binary/octet-stream)
Nichtklassische Aufgabentypen:	Lange Textaufgaben, Miniprojekte, Projektaufgaben(Sachprobleme), Schätzaufgaben, Fermi-Aufgaben, Aufgaben zu Teilkompetenzen des Modellierens, Kapitänsaufgaben, Knobelaufgaben
Lange Textaufgaben:	in Text gefasste Aufgaben, Sache ist relevant, mehrere Fragen zu einer Sachsituation, fokussieren ein mathematisches Unterrichtsthema, etwa 1-2 Unterrichtsstunden Bearbeitung
Miniprojekte:	„Zwischenformglied“ zwischen Lösen einer Sachaufgabe und der Durchführung eines Projektes, Einschränkung der ursprünglichen Komplexität eines Problems auf vorwiegend ausgewählte mathematische Inhalte, Einschränkung auf einen/wenige mathematische Inhaltsbereiche, inhaltliche und organisatorische Eingliederung des Problemlösens in den üblichen Mathematikunterricht, Wechsel/Balance zwischen offenen und stärker lehrerzentrierten Unterrichtsphasen
Miniprojekte Bearbeitungsphasen	1. Angebot einer herausfordernden Situation 2. Herausarbeiten einer oder mehrerer Problemstellungen 3. Selbstständiges Problembearbeiten durch die SuS 4. Auswertung, Rückbesinnung
Miniprojekte Lernziele	Befähigung zum komplexen und flexiblen Anwenden math. Kompetenzen, • Beitrag zum Erlernen math. Modellierens, • Beitrag zur Realisierung zentraler Bildungs- und Erziehungsziele (z. B. Entwicklung sozialer Kompetenzen, Erziehung zu Selbstständigkeit, ...).
Haupttätigkeiten Miniprojekte	Analysieren von realen Sachsituationen, • Bestimmen und Formulieren von (Problem-) Aufgaben, • Lösen einer oder mehrerer mathematischer Aufgaben, • Organisieren, Besorgen von Material, Daten u. Ä. m., • sachlich angemessenes Kommunizieren mit Mitschülern, •Einschätzen der Ergebnisse, Herausstellen ihrer Bedeutung für eigenes Verhalten in realen Situationen.
Projektaufgaben:	- Die Sache selbst wird mitdiskutiert, Sache/Umwelt steht im Vordergrund und Mathematik als Hilfsmittel zur Bearbeitung, Vorteilhafte Organisationsform im Unterricht, alle Aktivitäten sind auf eine reale Sachsituation gerichtet, üblicher Stundenplan wird zugunsten des Projektes außer Kraft gesetzt - im Idealfall folgende Bearbeitungsphasen: 1. Angebot einer herausfordernden Situation, 2. Herausarbeiten einer oder mehrerer Problemstellungen, 3. Selbstständiges Problembearbeiten durch die Schüler/innen, 4. Auswertung, Rückbesinnung
Projektaufgaben Wichtige Lernziele	Befähigung zum komplexen und flexiblen Anwenden von Lernkompetenzen aus verschiedenen Fächern sowie von Alltagswissen, • echte Anwendung mathematischen Wissens in realistischen Sachsituationen, • Beitrag zum Erlernen math. Modellierens, • Beitrag zur Realisierung zentraler Bildungs- und Erziehungsziele Schätzen:
Schätzen	-Schätzen spielt bei der Datenbeschaffung von unterbestimmten Aufgaben -Schätzen in diesem Zusammenhang bedeutet das näherungsweise Bestimmen von quantifizierbaren Daten -Ohne Stützpunktwissen, d. h. ohne ein Bezugssystem ist ein sinnvolles Schätzen hoffnungslos. -Schätzen kann erfolgen, indem man gedanklich feststellt, wie oft in einem vorgegebenen Repräsentanten einer Größe ein Repräsentant einer Größe gleicher Art, von dem man möglichst genaue Vorstellungen hat, enthalten sein könnte (Bsp.: Ein Stift liegt vor mir (Repräsentant einer Größe), wie oft passt er nebeneinander, damit ich sehe, wie breit der Tisch vor mir ist?)
Abschätzen:	-gedankliches Bestimmen von 2 Näherungswerten für eine bestimmte Anzahl von Dingen, und zwar einer unteren und einer oberen Schranke
Messen:	-Messen heißt feststellen, wie oft ein Repräsentant einer (als Einheit dienenden) Größe in einem Repräsentanten einer anderen Größe gleicher Art enthalten ist. -genauestes Verfahren Darstellungen von Schätzaufgaben: – Schätzgröße nicht als Foto, sondern nur gedanklich vorhanden, Schätzgröße als Foto vorhanden -Schwierigkeitsgrad von Schätzaufgaben: – Schwierigkeitsgrad ist von der Anzahl der zu schätzenden Größen abhängig
Fermi-Aufgaben:	stellt Denkvermögen auf die Probe (sonderbare Fragen) -klarer Endzustand und unklarer Anfangszustand -Datenbeschaffung steht im Vordergrund -Das Beachten des Modellierungskreislaufs steht im Vordergrund -Fermi-Aufgaben sind realitätsbezogen, sind zugänglich und herausfordernd, fördern versch. Kompetenzen, erfordern Vergleichen und Überprüfen, regen das Weiterfragen an
Beiträge der Fermi-Aufgaben:	-Selbstständigkeit, – Kooperationsfähigkeit, – Problemlösekompetenzen (strategisches Denken), – Fähigkeiten im Argumentieren, – Fähigkeiten im Umgang mit „Unsicherheiten“, „Unkorrektem“, mit Schätzwerten, – Fähigkeiten im Modellieren, – Fähigkeiten, funktionale Zusammenhänge (Proportionen) zu erkennen und zu nutzen
Aufgaben zu einem Teilschritt des Modellierungskreislaufs:	Typen: – Mathematisierungsaufgabe – Interpretationsaufgabe bzw. Interpretations- und Validierungsaufgabe – Validierungsaufgabe • Vorrangiges Lernziel: Erwerb/Einüben von Teilkompetenzen des Modellierens Vorteile für MU: - In Klassenarbeiten: Bearbeitung weniger zeitaufwendig, bessere Vergleichbarkeit bei Bewertung - Mathematisierungen komplexer Zusammenhänge können oftmals von Schüler/-innen nicht geleistet werden (u.a. zeitliche Ressourcen nicht in ausreichendem Maße vorhanden)
Interpretationsaufgaben:	Interpretationsaufgaben fokussieren die Phase des Interpretierens. Mittels solcher Aufgaben lassen sich verschiedene inhaltliche und prozessorientierte Kompetenzen fördern: A Fördern der Kompetenz Interpretieren B Fördern der Kompetenz Mathematisieren C Erwerb mathematischer und nichtmathematischer inhaltlicher Kompetenzen
Kapitänsaufgaben:	• … sind Aufgaben, die mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Angaben nicht lösbar sind. Bsp.: Auf einem Schiff befinden sich 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? Problematik: SuS mischen Zahlen verschiedenen „Maßes“ miteinander, weil sie einfach rechnen wollen, Inhalt wird nicht beachtet und es wird nur auf Zahlen geachtet Ziele: – kritischer Umgang mit Textaufgaben und Zahlen – die Sinnhaftigkeit von Aufgaben hinterfragen – lernen, dass nicht jede Aufgabe lösbar sein muss
Knobelaufgaben	Merkmale: • Rätselcharakter • Günstige Modellierungen/strategische Vorgehensweisen nicht offensichtlich • Oftmals fiktive/künstliche Sachsituation
Haupttätigkeiten beim Aufgabenlösen	Kleinschrittiges und versuchsweises Bedenken eines Problems, • Analysieren eines Textes, • Übersetzen des Textes in eine mathematische Struktur, • Anwenden verschiedener Problemlösestrategien
Einteilung nach Art/Grad der Offenheit einer Aufgabe:	Geschlossene Aufgaben: fordern einen eingleisigen Rechenweg, haben eine eindeutige Lösung … Offene Aufgaben: mehrere Lösungswege und/oder verschiedene Lösungen möglich. Nach Klix: Problemlösepsychologie: Ein Problem wird beschrieben durch: – Anfangszustand, – Zielzustand, – Transformation, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt.
Klassifizierung nach Bruder 1:	Image: Image (binary/octet-stream)
Klassifizierung nach Bruder 2:	Image: Image (binary/octet-stream)
Klassifizierung nach Bruder 3:	Image: Image (binary/octet-stream)
Klassifizierung Greefrath	Image: Image (binary/octet-stream)
Überbestimmte Aufgaben:	Aufgabentexte/Aufgabenstellungen enthalten Angaben, die zur Lösung der Aufgabe nicht erforderlich sind.
• Unterbestimmte Aufgaben:	– Nicht alle Informationen, die zur Lösung der Aufgabe benötigt werden, sind angegeben. Fehlende Informationen müssen beispielsweise durch Alltagswissen, Schätzen oder eine Recherche ermittelt werden.

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