8.3 Kern und Bild einer linearen Abbildung

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Was ist das Bild einer Abbildung f: V --> W?	die Menge der Elemente der Zielmenge W, auf die f die Menge V abbildet.
Wann ist eine lineare Abbildung f: V --> W surjektiv?	Wenn das Bild von f die gesamte Menge von W ist. Wenn also jedes Element "getroffen" wird.
Wenn V ein endlich erzeugter Vektorraum ist und f eine lineare Abbildung, dann ist das Bild (f) ... ?	ebenfalls endlich erzeugt
Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum mit der Basis \( v_1 .. v_n \) , und f eine lineare Abbildung von V nach W dann ist f genau dann surjektiv, wenn \( f(v_1) .. f(v_n) \) was ist..?	ein Erzeugendensystem von W
Was ist der Kern einer linearen Abbildung?	Die Menge aller Vektoren, welche die Abbildung auf das Nullelement abbildet.
Der Kern einer linearen Abbildung f: V --> W ist ein Unterraum von ...?	V
Wenn der Kern einer linearen Abbildung lediglich der Nullvektor ist, dann ist die Abbildung? Kern (f) = {0} ==>	f ist injektiv.
Was ist der Rang einer linearen Abbildung?	Die Dimension des Bildes. Rg ( f ) = Dim ( Bild ( f ) )
Was ist der Defekt einer linearen Abbildung?	Die Dimension des Kerns.
Was besagt der Rangsatz für einen Vektorraum V und eine lineare Abbildung f: V --> W?	die Dimension von V ist gleich der Summe von Defekt und Rang von f dim(V) = Def (f) + Rg(f)
Wenn zwei endlich erzeugte Vektorräume die gleiche Dimension haben, dann ist die lineare Abbildung f: V --> W genau dann surjektiv, wenn sie ..?	injektiv ist.
Welche nütztliche Folgerung lässt sich aus dem Rangsatz ableiten?	Um zu zeigen ob eine lineare Abbildung auch ein Isomorphismus ist, muss nur noch gezeigt werden: dass f injektiv oder surjektiv ist. (und dass natürlich die Dimensionen übereinstimmen)
Wann sind zwei Vektorräume V und W über einen Körper K isomorph?	Wenn sie die gleiche Dimension haben.
Wann ist ein Vektorraum isomorph zu \( K^n\) ?	Wenn er die gleiche Dimension hat wie der VR \( K^n\)
Welcher Begriff wird für den Rangsatz noch verwendet und warum?	Der Dimensionssatz, weil man den Defekt und den Rang der Abbildung auch durch die Dimension ausdrücken kann. Dim (V) = Dim ( Kern (f) ) + Dim ( Bild (f) )
Wie lautet der Dimensionssatz für einen Vektorraum V und eine lineare Abbildung f?	Die Dimension von V ist gleich der Summe der Dimensionen von Bild und Kern von f. Dim (V) = Dim ( Kern (f) ) + Dim ( Bild (f) )
Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum, und sei f : V → W eine lineare Abbildung sowie {v1,...,vn} eine Basis von V, dann ist: f injektiv, wenn ?	f(v1),...,f(vn) eine Basis von Bild(f) ist.
Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum, und sei f : V → W eine lineare Abbildung sowie {v1,...,vn} eine Basis von V, dann ist: f surjektiv, wenn ?	f(v1),...,f(vn) ein Erzeugendensystem von W ist.
Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum, und sei f : V → W eine lineare Abbildung sowie {v1,...,vn} eine Basis von V, dann ist: f bijektiv, wenn ?	f(v1),...,f(vn) eine Basis von W.
Seien V, W und X endlich erzeugte K-Vektorräume, und seien f : V → W und g : W → X lineare Abbildungen. Was lässt sich dann über den Rang der Komposition (g◦f) aussagen?	Der Rang der Komposition ist sowohl kleiner gleich dem Rang von f als auch dem Rang von g. Rg (g ◦ f) ≤ Rg ( g ) und Rg ( g ◦ f ) ≤ Rg( f ).

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