Flashcards
9.1 der Vektorräume linearer Abbildungen
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- 1Was ist ein System von Basisvektoren?Basisvektoren, bei denen es auf die Reihenfolge ankommt.
Also ein geordnetes Tupel. - 2Wie wird die Menge aller linearen Abbildungen von zwei Vektorräumen V und W bezeichnet?"\( Hom_K (V,W) \)" ?
- 3Welche Eigenschaften hat die Menge "\( Hom_K (V,W) \)" ?Diese stellt einen Vektorraum dar
- 4Wie wird der Vektorraum der linearen Abbildungen noch genannt?Homomorphismenraum
- 5Was ist die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung?Eine m x n Matrix bei der die Spaltenvektoren die Koordinatenvektoren der Basis des Bildes(f) darstellen.
- 6Wie lässt sich eine lineare Abbildung eindeutig beschreiben, ohne die genaue Abbildungsvorschrift zu kennen?Wenn man weiß, was die Abbildung mit den Basisvektoren macht, weiß man, was sie mit allen anderen Vektoren macht. Damit kann man sie als Matrix in Bezug auf die Basisvektoren darstellen.
- 7Was muss / sollte für die Matrixdarstellung einer Abbildung immer mit angegeben werden?Die Basen der Vektorräume.
- 8Welche Eigenschaften weist die lineare Abbildung auf, die jeder linearen Abbildung eine Matrix zuordnet?sie ist injektiv und surjektiv, also ein Isomorphismus.
- 9Mit welchem Symbol wird die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung f : V --> W bezeichnet in Bezug auf die Basisvektoren B aus V und C aus W?\( _C M_B\)
- 10Wenn V und W endlich erzeugte Vektorräume sind, wie groß ist dann die Dimension des zugehörigen Homomorphismenraumes?Dim(V) * Dim (W)
- 11Wieviele Matrizendarstellungen einer linearen Abbildung gibt es?So viele wie es verschiedene Basen der zugehörigen Vektorräume und Reihenfolgen der Anordnung der Basisvektoren gibt.
Also unendlich viele. - 12Wovon ist das Aussehen der Matrixdarstellung einer linearen Abbildung abhängig?Von den gewählten Basen und ihrer Reihenfolge.
- 13Was erhält man, wenn man den Koordinatenvektor eines Vektors \(k_B\) aus V mit der Matrixdarstellung \( _C M_B \) multipliziert?Den zugehörigen Koordinatenvektor des Bildes \(K_C\)
- 14Wie stehen der Kern einer linearen Abbildung und die Lösungsmenge des zur Matrixdarstellung zugehörigen homogenen LGS in Verhältnis?ihre Dimensionen sind gleich, und da beide Vektorräume sind, sind sie auch isomorph
- 15Wie stehen der Rang einer linearen Abbildung und der Rang einer zugehörigen Matrixdarstellung zueinander in Verhältnis?sie sind gleich.
- 16Wie lässt sich der Rang einer Matrix noch bestimmen außer über den Gaußalgorithmus?Indem man die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren bestimmt.
- 17Was sind Spaltenrang und Zeilenrang einer Matrix?Die Anzahl linear unabhängiger Spalten bzw. Zeilen.
- 18Wie stehen Spaltenrang und Zeilenrang einer Matrix zueinander in Verhältnis?sie sind gleich und auch gleich dem Rang der Matrix.
- 19Wenn der Rang einer Matrix gleich der Anzahl der Zeilen ist, dann ist die zugehörige lineare Abbildung: a) injektiv b) surjektiv c) bijektiv ?sujektiv.
- 20Wie lassen sich durch Matrizen Kompositionen von linearen Abbildungen verwirklichen?durch Matrizenmultplikation.
- 21Von welcher Seite muss die Matrix multipliziert werden, welche bei einer Komposition zuerst ausgeführt werden soll? (Hinweis: genauso wie bei der "Kringeldarstellung" der Komposition)von rechts.
- 22Wenn A ein Produkt zweier Matrizen A' und A'' ist, wie stehen dann die Ränge der drei Matrizen in Relation?Der Rang von A ist kleiner gleich dem Rang von A' und auch von A''
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- Mathematik (Grundlagen KE 3) Flashcards on 9.1 der Vektorräume linearer Abbildungen, created by David Bratschke on 04/05/2017.
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