14.2 Beispiele von Funktionen

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Was besagt die Gradformel zu dem Grad zweier miteinander multiplizierter Polynome?	Der Grad des Produkts ist gleich der Summe des Grades der Faktoren. (Potenzregel : Addition von Exponenten)
Warum funktioniert die Polynomdivision?	Weil man Polynome wie natürliche Zahlen in ihre "Einzelteile" zerlegen kann: Es gibt zu je zwei Polynomen p und q ( q != 0 ), zwei eindeutig bestimmbare Polynome f und r gibt, sodass \( p = f q + r \) gilt.
Was ist eine "Nullstelle" eines Polynoms?	Eine reelle Zahl r , durch welche das Polynom Null wird. r einsetzen ==> p(r) = 0
Angenommen, man kennt die Nullstelle eines Polynoms, wie kann man dann das Polynom umformen?	Man kann die Nullstelle in Form eines Faktors (x- \(x_0\) ) durch Polynomdivision "abspalten" und das Polynom dadurch in einzelne Faktoren zerlegen.
Wieviele Nullstellen kann ein Polynom vom Grad n ≥ 0 maximal haben?	maximal n Nullstellen
Was ist eine Polynomfunktion?	Eine Funktion, die sich aus einzelnen Polynomen zusammensetzt: wie z.B.: \( x^3 - 2x + 6 \)
Was besagt der Identitätssatz für Polynomfunktionen?	Sind zwei Polynome gleich, so sind auch deren Funktionen gleich. ==> sind sie verschieden, dann auch Fkt. verschieden
Was ist rationale Funktion?	Wenn sich eine Funktion sich aus einem Bruch bestehend aus zwei Polynomen zusammensetzt.
Wann ist eine rationale Funktion nicht definiert?	Wenn das Polynom im Nenner 0 ist. ==> Division durch 0
Was ist der Grenzwert von \( a^{\frac{1}{n}} \) für alle a > 0 , n --> unendlich?	1
Gegen welchen Grenzwert konvergiert die Folge ( \( a^{r_n} \) ) für alle a > 0 und r \( \epsilon \) Q ?	Gegen \( a^r \)
Zwei Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man .. ?	Die Exponenten addiert
Zwei Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man ..?	Die Exponenten subtrahiert.
Was ist das Produkt von zwei Potenzen (unterschiedlicher Basis) mit gleichem Exponent?	Das Produkt der Basen, hoch dem Exponent \( (a b)^p \)
Wie werden zwei Potenzen mit gleichem Exponenten dividiert?	Die Basen durch einander teilen, und mit dem gemeinsamen Exponenten potenzieren. \( ( \frac{a}{b} \
Was ist die "(allgemeine) Potenzfunktion" ? (x >= 0)	Die Funktion : \( x^p \) Also eine Verallgemeinerung von z.B. \( x^2 \)
Wie ist das Monotonieverhalten der allgemeinen Potenzfunktion, wenn der Exponent positiv ist? (x >= 0)	streng monoton wachsend.
Wie ist das Monotonieverhalten der allgemeinen Potenzfunktion, wenn der Exponent negativ ist? (x >= 0)	streng monoton fallend
ist p < q dann folgt für: \( a^p \) und \( a^q \) ? 1.) (a > 1) ? 2.) 0 < a < 1 ?	1.) \( a^p < a^q \) 2.) \( a^p > a^q \)
Gegen welchen Grenzwert konvergiert die Potenzfunktion \( a^r \) für a > 0 und r \( \epsilon \) Q?	gegen \( a^r \)
Warum ist ür a < 0 \( a^p \) nur für p \( \epsilon \) Z definiert?	Könnte p ein Bruch sein, dann wäre das die Wurzel einer negativen Zahl und diese existiert nicht.
Für welche p ist der Ausdruck \( a^p \) bei a > 0 definiert?	Für alle p \( \epsilon \) R
Was ist \( 0^p \) für p > 0 und für p < 0 ?	Für p > 0: \(0^p \) = 0 für p < 0: ist \( 0^p \) nicht definiert (Division durch 0)
Wie ist die Exponentialfunktion definiert?	\( exp_a (x) \) = \( a^x \)
Welches Monotonieverhalten \( a^x \) zeigt die Exponentialfunktion für a > 1 ?	sie ist streng monoton wachsend
Welche Monotonieverhalten \( a^x \) zeigt die Exponentialfunktion für 0 < a < 1	Sie ist streng monoton fallend
wie lässt sich: exp ( x + y ) umschreiben? und warum?	zu exp (x) * exp (y), weil \( a^{x + y} = a^x * a^y \) (Potenzgesetze)
Was ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion?	Die Logarithmusfunktion
Welchen Rückgabewert liefert der Logarithmus?	Den Exponenten, mit dem eine Basis potenziert werden muss, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten.
Was bedeutet der Ausdruck: \( log_2(8) \) ?	2 hoch "was" ist gleich 8?
Wie ist das Monotonieverhalten der Logarithmusfunktion für Basen größer 1 (a > 1)?	streng monoton wachsend
Wie ist das Monotonieverhalten für Basen zwischen 0 und 1?	streng monoton fallend
Was ist \( log_a (1) \)	0
was ist \( log_a (a) \) ?	1
ist a > 1 und x < 1, so ist: \( log_a (x) \) .. ?	< 0
ist a > 1 und x > 1, so ist: \( log_a (x) \) .. ?	> 0
Logarithmengesetze: Die Summe zweier Logarithmen log (a) + log (b) ist gleich ... ?	log (a * b)
Logratihmengesetze: \( log \frac {a}{b} \) = ?	log (a) - log (b)
Logarithmengesetze: \( log_a(x^p) \) = ?	p * \( log_a(x) \)
Wie lässt sich die allgemeine Potenzfunktion durch die e-Funktion bzw. den Logarithmus ausdrücken?	\( x^a = e^{(a*ln(x))} \)
Wie lässt sich eine Exponentialfunktion durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken?	\( exp_a(x) = a^x \) = exp (x ln a)
Wie lässt sich jeder Logarithmus durch den natürlichen Logarithmus darstellen? \( log_a (x) \) = ?	durch den Quotienten aus ln(Ergebnis) durch ln (Basis) \( \frac{ln x} {ln a} \)
Was ist: \( \lim\limits_{n -> \infty} log_a (x_n) \), wenn \(x_n\) eine reelle Folge mit Grenzwert x > 0 ist?	dann ist der Grenzwert : \( log_a(x) \)
Was ist \( \lim\limits_{n -> \infty } (x_n^p)\), wenn \(x_n\) eine Folge positiver reeller Zahlen mit Grenzwert x > 0 ist?	\( x^p \)
Was ist der Grenzwert der Folge: \( \frac{a^{x_n} - 1}{x_n} \) für n gegen unendlich?	ln a

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