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Description
Flashcards by David Bratschke, updated more than 1 year ago
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Created by David Bratschke
almost 7 years ago
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| Question | Answer |
| Was ist eine Potenzreihe mit Mittelpunkt a und Koeffizienten \( a_n \)? | Eine Reihe der Form: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n \) |
| Warum betrachtet man in der Regel nur Potenzreihen mit Mittelpunkt 0? | Weil sich der Term x-a durch eine einzelne Variable y substituieren lässt. |
| Nenne ein paar Beispiele für Potenzreihen. | Exponentialreihe, Sinusreihe, Logarithmusreihe, Binomialreihe |
| Konvergiert eine Potenzreihe für \( x = x_0\) dann konvergiert sie auch absolut für alle..? | x mit: \( |x| < |x_0| \) |
| Für welche x konvergiert die Logarithmusreihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} -1^{n-1} \frac{x^n}{n} \)? | für alle -1 < x ≤ 1 |
| Für welche x konvergiert die Binomialreihe: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n \) | für alle -1 < x < 1 |
| Was ist der Konvergenzradius einer Reihe? | Das Supremum der Menge in der die Reihe absolut konvergiert: sup (M) für: M = { x ≥ 0 | \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) |
| Beschreibe mit eigenen Worten was ein Konvergenzradius ist. | Der Abstand vom Mittelpunkt des Invervalls, wo die Reihe absolut konvergent ist, bis zu dem Rand dieses Intervalls. |
| Ist die Menge, in der eine Reihe absolut konvergiert unbeschränkt, so ist der Konvergenzradius..? | unendlich |
| Ist der Konvergenzradius einer Reihe unendlich, so konvergiert sie ..? | für alle \( x \epsilon \R \) |
| Was ist das sogenannte Konvergenzintervall? | Das Intervall in dem eine Reihe absolut konvergent ist. also: (-R, R) , wenn R der Konvergenzradius ist |
| Was ist ein Häufungswert einer Folge? | Ein Wert bei dem in jeder \( \epsilon\)-Umgebung um diesen Wert unendlich viele Folgenglieder liegen. |
| Wie wird der größte Häufungswert einer Folge genannt und formal bezeichnet? | Limes superior lim sup \( a_n \) |
| Wie wird der kleinste Häufungswert einer Folge genannt und formal bezeichnet? | Limes inferior lim inf \( a_n \) |
| eine beschränkte Folge deren Limes superior = Limes inferior ist, ist ..? | konvergent |
| Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy-Hadamard für eine Potenzreihe deren Wurzelfolge von \(a_n\) beschränkt ist und der zugehörige Limes superior = a ≠ 0 ist? | dann ist der Konvergenzradius R: \( \frac {1} { lim sup \sqrt[n] |a_n|} \) |
| Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy-Hadamard für Potenzreihen mit beschränkter Wurzelfolge \(a_n\) deren Limes superior = 0 ist? | Dann ist der Konvergenzradius der Reihe unendlich. |
| Was besagt das Konvergenzkriterium von Cauchy-Hadamard zu Potenzreihen deren Wurzelfolge von \(a_n\) unbeschränkt ist? | Dann ist der Konvergenzradius der Reihe = 0 |
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