trabajo de matematicas2

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Diferentes tipos

de cónica y su definición.

La palabra cónica viene de cono.

Se llama cónica (o sección cónica) a las curvas resultantes de la intersección

del cono y un plano. Este plano no debe pasar por el vértice (V).

Existen cuatro tipos de cónicas,

según el ángulo del plano que intersecta con el cono y su base:

Circunferencia: es la

intersección del cono con un plano paralelo a la base.

Elipse: intersección del cono con

un plano oblicuo a la base y que no la corta en ningún momento.

Parábola: es la intersección del

cono con un plano paralelo a su generatriz y que corta a la base.

Hipérbola: es la intersección de

un cono recto y un plano cuyo ángulo es menor al de la generatriz del cono.

Se denomina sección cónica (o simplemente

cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho

plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se

clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola. un cono circular recto

de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice

De acuerdo al ángulo y el lugar

de la intersección es posible obtener círculos, hipérbolas , elipses o parábolas.

Cuando el plano solo toca uno de los mantos del cono y no es paralelo a una de

sus aristas se obtiene una Elipse. Cuando el plano corta los dos mantos del

cono se obtiene una hipérbola. Cuando el plano que corta es paralelo a una de

las aristas del cono se obtiene una parábola.

Aplicaciones

Las curvas cónicas son

importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de

gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su

centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas

describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.

También son importantes en

aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por

medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas

perfectas.

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Según en la historia el

descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los

tres problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cubo o

problema de Delos.

La peste se llevó una cuarta

parte de la población ateniense y la profunda impresión que produjo esta

catástrofe fue probablemente el origen del segundo problema.

Se envió una delegación al

oráculo de Apolo en Delos, para preguntar cómo podría conjurarse la peste, a lo

que el oráculo contesto que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a

Apolo. Al parecer los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero

esto no sirvió para detener la peste, obviamente habían aumentado ocho veces su

volumen en lugar de dos ..."

Fue Hipócrates de Chíos quien

demostró que se podría conseguir la duplicación del cubo siempre que se pudiera

encontrar curvas que cumplieran a/x=x/y=y/2a; y Menecmo halló dichas curvas

como secciones (las secciones en aquellos tiempos sólo se consideraban

perpendiculares a la generatriz) de conos circulares rectos (ortotoma), agudos

(oxitoma) y obtusos (amblitoma). Pero es Apolonio de Perga quien hace un

tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los anteriores, y quien da una

formulación definitiva.

Apolonio les da su nombre

definitivo Ellipsis (deficiencia), Hyperbola (avanzar más allá) y Parábola

(colocar al lado o comparar) que indicaba que no había deficiencia ni exceso.

Apolonio fue el primero en

obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto, variando el

ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono y "a partir

del cono dedujo una propiedad plana fundamental, una condición necesaria y

suficiente para que un punto esté situado en la curva, y en ese momento

abandonó el cono y procedió a estudiar las cónicas por métodos planimétricos

exclusivamente..." y "consigue una de las mejores obras de la

matemática antigua".

Mientras que Apolonio habia

considerado tres tipos de curvas, Kepler prefería considerar cinco tipos... A

partir de un par de rectas que se cortan, en la que los focos coinciden con el

punto de intersección, podemos pasar gradualmente por un conjunto infinito de

hipérbolas, según uno de los focos va alejandose más y más del otro. Cuando el

segundo foco se haya alejado infinitamente, no tenemos ya una hipérbola con sus

dos ramas sino una parábola. Según el foco móvil traspasa el punto del infinito

y se va acercando de nuevo por el otro lado, vamos pasando por un conjunto de

elipses, hasta que cuando los focos coinciden tenemos una circunferencia como

último tipo de cónica. En 1609 enuncia Kepler sus dos primeras leyes

astronómicas, los planetas se mueven alreedor del Sol sigueindo órbitas

elípticas uno de cuyos focos es el Sol y el radio vector que va del Sol a un

planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

Descartes sólo en un caso examina

con detalle un lugar geométrico, y es en conexión con el problema del lugar de

las tres y cuatro rectas de Pappus del que obtiene Descartes la ecuación

y2=ay-bxy+cx-dx2. Ecuación general de una cónica que pasa por el origen de

coordenadas...", ".. Descartes presenta condiciones sobre los

coeficientes para que la cónica sea una recta, una parábola, una elipse o una

hipérbola...", "...sabía que eligiendo adecuadamente tanto el origen

de coordenadas como los ejes, podía reducirse la ecuación a la forma más

sencilla, pero el hecho es que no da ninguna de las formas canónicas."

Tras la Geometría de Descartes publicada en

francés y no en latín (la lengua universal de la ciencia), Van Schooten la

traduce al latín en 1649 y junto con sus discipulos adquiere la geometría

cartesiana un rápido desarrollo, Debeaune en Notae breves demuestra que las

ecuaciones y2=xy+bx, y2=-2dy+bx e y2 =bx-x2, representan respectivamente

hipérbolas, parábolas y elipses. Pero es en 1658 cuando uno de los miembros del

grupo de Van Schooten, Jan de Witt reduce todas las ecuaciones de segundo grado

en x e y a formas canónicas, por medio de rotaciones y traslaciones de los

ejes. De Witt sabía cómo reconocer cuándo tal ecuación representaba una elipse,

cuándo una parábola y cuándo una hipérbola, según que el llamado discriminante

fuera negativo, nulo o positivo.

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circunferencia.

La circunferencia es una figura

geométrica cuyos puntos están a una distancia constante, llamada radio (r), del

centro (C).

La superficie plana comprendida

dentro de una circunferencia es el círculo.

Elipse.

La elipse es el lugar geométrico

de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos

interiores fijos F1 y F2) es constante. Es decir, para todo punto a de la

elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante.

Una elipse se puede definir

también como la intersección entre un cono recto y un plano oblicuo que no pase

por su base.

Parábola.

La parábola es el lugar

geométrico de los puntos que equidistan del foco (F) y de una recta denominada

directriz.

El foco y la directriz determinan

cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que será más o

menos abierta según la distancia entre F y la directriz).

También puede definirse como la

intersección entre un cono recto y un plano paralelo a una generatriz del cono

y que pase por la base del mismo.

Hipérbola.

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un

plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos

(F1 y F2) es constante.

El valor de esa constante es la distancia entre los vértices

V1 y V2 de la hipérbola (2a).

Fórmula de la de la diferencia de distancias de los puntos

de la hipérbola.

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Ecuación general de las cónicas

Las cónicas tienen una fórmula

general para definir los puntos (x,y) que la forman. Según las características

de los parámetros A, B, C, D y E, definirán cada uno de los cuatro tipos de

cónica.

La hipérbola

como sección cónica

La circunferencia, la elipse, la

parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas.

Estas curvas aparecían ya en la

geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de

la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección

de un cono con un plano.

La elipse como sección

cónica.

Cuando los matemáticos de los

siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la

falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la

visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba

las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición de estas

curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades

en términos de distancia. (las cónicas como lugares geométricos).

La parábola como

sección cónica.

Finalmente se estableció una

teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como

curvas cuadráticas. Es esta teoría la que presentamos a continuación.

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Un poco más

sobre las cónicas.

Secciones

cónicas y formas estándar de las ecuaciones

Una sección cónica es la

intersección de un plano y un cono recto circular doble. Por el cambio del

ángulo y la ubicación de la intersección, podemos producir diferentes tipos de

cónicas. Hay cuatro tipos básicos: círculos, elipses, hipérbolas y parábolas. Ninguna

de las intersecciones pasara a través de los vértices del cono.

Si el cono recto circular es

cortado por un plano perpendicular al eje del cono, la intersección es un

círculo. Si el plano intersecta una de las piezas del cono y su eje pero esté

no es perpendicular al eje, la intersección será una elipse. Para generar una

hipérbola el plano intersecta ambas piezas del cono sin intersectar el eje. Y

finalmente, para generar una parábola, el plano de intersección debe

intersectar una pieza del cono doble y su base.

La ecuación general para

cualquier sección cónica es

donde A, B, C, D, E y F son constantes.