INTEGRALES

INTEGRALES

1. Aplicaciones

   • Valor promedio
     • Sea f(x) continua en un intervalo [a,b]. Entonces el valor promedio V de f(x) en [a,b], está dado por:
       • • NOTA: Se integra la función [f(x)] a la que se le va a hallar el promedio, no la derivada [f'(x)].
         • Ejemplo
   • Áreas
     • Son aplicaciones de integración definida.
   • Problema de valor inicial (PVI)
     • Es un tipo de aplicación de integración indefinida.
       • Es un problema donde se resuelve una ecuación diferencial que está sujeta a una condición inicial.
         • Ejemplo
   • Variación
     • Si Q'(t) es continua en [a,b], entonces la variación total Q(x) cuando x varía de a hasta b está dada por:
       • • Ejemplo

2. ¿Qué es una integral?

   • La integral de una función F es el área bajo la curva delimitada por los extremos de esta y sus proyecciones sobre uno de los ejes.
     • Arroja datos relevantes de áreas determinadas por curvas y formas aun no concluidas.
       • Básicamente, es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
         • Ejemplo

3. Métodos de integración

   • Integración indefinida.
     • Es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
       • Propiedades:
         • La integral de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las integrales de esas funciones.
           • Ejemplo
         • La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
           • Ejemplo
     • En algunos casos debe realizarse como:
       • Integración por sustitución
         • Se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral simple.
           • Se debe:
             • 3.Reescribir la integral ya sustituida.
             • 4.Integrar.
             • 1. Identificar la fución a sustituir, es decir identificar "u"
               • Ejemplo
             • 2.Determinar el diferencial de "u" ("du").
   • Integración por sustitución de funciones trigonométricas.
     • Permite transformar una integral en otra quecontiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.
       • RECORDAR
         • • Casos.
             • • Ejemplo
             • • Ejemplo
             • • Ejemplo
   • Integración de funciones trigonométricas.
     • Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes.
       • RECORDAR
         • Casos.
           • 1. Integrales de la forma
             • • Ejemplo
             • n entero positivo impar
           • 2. Integrales de la forma
             • • Ejemplo
                 • • Se continua con el método de integración por sustitución.
             • Por lo menos uno de los exponentes (m ó n) entero positivo par.
             • Si n es impar, entonces:
           • 3. Integrales de la forma
             • • Ejemplo
             • m y n enteros positivos pares
   • Integración definida.
     • Concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas.
       • Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
         • La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
           • Ejemplo
   • Integración por partes.
     • Nos permite transformar una integral (izquierda) en otra integral que sea más sencilla de hallar (derecha).
       • • Casos.
           • 1. Integral del tipo
             • • Ejemplo
           • 2. Integral del tipo
             • • Ejemplo
           • 3. Integral del tipo
             • • Ejemplo
           • 4. Integral del tipo
             • • Ejemplo
   • Integración por fracciones parciales
     • Consiste en reducir un cociente de polinómios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral más sencilla.
       • Casos.
         • 4. Grado del denominador mayor. En el denominador aparecen factores cuadráticos no factorizables.
           • A cada factor de la forma ax^2 + bx + c que aparece en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma
         • 5. A cada factor cuadrático irreducible que aparezca en el denominador n veces repetidas y de la forma ax^2 + bx + c le corresponde una suma de fracciones de la froma
         • 3. Grado de denominado mayor. En el denominador hay factores lineales repetidos.
           • A cada factor lineal de la forma x+a en el denominador que aparece n veces repetido, le corresponde una suma de fracciones de la forma
         • 1. El grado del numerador mayor al grado del denominador
           • Ejemplo
             • • Se divide para reducir grado.
         • 2. Grado de denominado mayor. El numerador solo tiene factores lineales.
           • Por cada factor lineal de la forma x+a en el numerador, corresponde un factor de la forma
             • • Ejemplo

4. Reglas elementales para integrar:

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