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LIMITES

ANGELA JAIMES Spanisch

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LIMITES

Se dice que una función y=f(x) tiene límite "l" cuando la x tiende a "a" y lo representamos por:
- cuando para toda sucesión de números reales que se aproxime a "a" tanto como queramos, los valores correspondientes de f(x) se aproximan a "l" tanto como queramos. ("tanto como queramos" es una expresión que nos indica que la aproximación será tanto mayor cuantos más elementos tomemos de la sucesión).
  - En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.
    - LIMITE DE UNA SUCESION :La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto L, si existe, para valores grandes de n. Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a \infty. Formalmente, se dice que la sucesión a_n tiende hasta su límite L, o que converge o es convergente (a L), y se denota como:
      - si y solo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural N tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural n mayor que N converjan a L cuando n crezca sin cota. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:
        Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.
        LIMITE DE UNA FUNCION
        En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. El punto c es punto de acumulación del dominio de la función.1 Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos. Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:
        si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:
        "El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
        Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:
        Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:
        Para la función f(x) = x2 - 9/ x - 3 se tiene límite en el punto 3, que no está en el dominio, cuando los valores del dominio se acercan a 3, los valores de la función se aproximan a 6. 3 es un punto de acumulación de Df2
        IMPORTANCIA
        El concepto de límite es importante en análisis matemático; una herramienta básica para definir la derivada e integral definida, la existencia de número real al definir por un sistema de intervalos encajados, la potencia real de un real positivo. El plurimilenario caso de π, genial creatura de Arquímedes.
        LIMITES LATERALES
        Además del límite ordinario en el sentido anterior es posible definir para funciones de una variable los límites unilaterales por la derecha y por la izquierda. El límite por la derecha (cuando existe) es el límite de la sucesión:
        Análogamente el límite por la izquierda (cuando existe) es:
        Visualización en un sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.
    - Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).
      - Límite por la izquierda:
        Límite por la derecha:
- Usemos por ejemplo esta función:
  - (x2-1)/(x-1)
    - Y calculemos su valor para x=1: (12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0
      - ¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos que encontrar otra manera de hacerlo.
        Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2 Ahora tenemos una situación interesante: Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada) Pero vemos que va a ser 2
        Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones
        El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2
        Y con símbolos se escribe así:
        Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"
        En un gráfico queda así: Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1. Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.
        Cuando es distinto en los dos lados
        Pero y si tenemos una función "f(x)" con un "salto" así:
        ¡En esta función el límite no existe en "a" ... ! No puedes decir cuál es, porque hay dos respuestas contradictorias: 3.8 por la izquierda, y 1.3 por la derecha
        Pero sí puedes usar los signos "-" o "+" (como en el dibujo) para definir los límites laterales: el límite por la izquierda (-) es 3.8 el límite por la derecha (+) es 1.3 Y el límite ordinario "no existe"
        ¿Los límites sólo son para funciones difíciles?
        ¡Los límites valen también cuando ya sabes el valor al llegar! Nadie ha dicho que sean sólo para funciones complicadas. Por ejemplo:
        Sabemos perfectamente que 10/2 = 5, pero también podemos usar límites (¡si queremos!)
        El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.
        El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0
        Y lo escribimos así:
        Cuando x va a infinito, 1/x va a 0 Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"
        Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".
  - HISTORIA DE LOS LIMITES
    - Los antiguos griegos utilizaban procedimientos basados en límites para calcular áreas, como el área del círculo , utilizando el <<>>.consistía en cubrir o ( agotar) una región de forma tan completa como fuera posible utilizando triángulos. sumando las áreas de los triángulos se tenía una aproximación al área de la región de interés. Newton y Leibniz, los inventores del cálculo . sin embargo. no dieron una definición rigurosa del procedimiento.El matemático francés Augustine-louis cauchy(1789-1857) fue el primero en desarrollar una definición rigurosa de límite. la definición que usaremos aquí se remonta al matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897)
      - Los límites son importantes por que nos ayudan a resolver eficazmente los problemas que se nos presentan en un ejercicio de un tema determinado. cada límite no puede dar una solución diferente, por ejemplo en un ejercicio que resolvamos podriamos conseguir con que podria ser una función indeterminada, la cual es cuando el resultado obtenido es igual a cero sobre cero 0/0. como también podemos encontrar funciones que si tengan soluciones o funciones determinadas, es decir nos ayuda a encontrarle alguna solucion posible a una función.
        El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesiòn o una funciòn, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En càlculo analisís real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
        AUTORES:
        John Wallis (1616-1703)
        Matemático inglés. Profesor en la Universidad de Oxford, fue uno de los fundadores de la Royal Society. Sus trabajos sobre aritmética y álgebra dieron a estas ramas de las matemáticas una independencia respecto de la geometría. Fue un precursor del cálculo infinitesimal. Destacan sus obras Arithmetica infinitorum (1655) y De sectionibus conicis (1659).
        louis cauchy(1789-1857)
        Matemático francés. Era el mayor de los seis hijos de un abogado católico y realista, que hubo de retirarse a Arcueil cuando estalló la Revolución. Allí sobrevivieron de forma precaria, por lo que Cauchy creció desnutrido y débil.
        Publicó un total de 789 trabajos, entre los que se encuentran el concepto de límite, los criterios de convergencia las fórmulas y los teoremas de integración y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann. Su extensa obra introdujo y consolidó el concepto fundamental de rigor matemático.
        karl weierstrass
        Matemático alemán. Hijo de un oficial a las órdenes de Napoleón, Karl era el mayor de cuatro hermanos. Más tarde, su padre ingresó en el servicio de recaudación de impuestos en Prusia, lo que obligó a la familia a trasladarse constantemente.