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Números Pseudoaleatorios

JULIO CESAR LOPEZ RODRIGUEZ Ingeniería Englisch

Inhalt der Mindmap

Pruebas Estadísticas
- Prueba de medias
  - Determinar el promedio de los n números de ri
    - Se calculan los límites de aceptación inferior y superior
      - Si el valor se encuentra entre los límites de aceptación, no se rechaza
- Prueba de varianza
  - Determinar la varianza de los n números de ri
    - - Se calculan los límites de aceptación inferior y superior
        Si el valor de V(r) se encuentra entre los límites de aceptación, no se rechaza
- Pruebas de uniformidad
  - Prueba Chi-cuadrada
    - Los números del conjunto ri se distribuyen uniformemente
      - Es necesario dividir el intervalo (0,1) en m sub-intervalos
        Se clasifica cada número en los m intervalos
        Frecuencia observada (Oi)= Números ri que se clasifican en cada intervalo
        Frecuencia esperada (Ei) = Números ri que se espera encontrar
        Si el valor del estadístico es menor al valor de tablas, no se rechaza
  - Prueba Kolomorov-Smirnov
    - Determinar si conjunto ri tiene la propiedad de uniformidad
      - Recomendable aplicar a conjuntos ri pequeños
        Ordenar de menor a mayor los números ri
        Determinar los valores de:
        Determinar el valor crítico con la tabla de valores críticos de Kolmogorov-Smirnov
        Si el valor D es mayor que el valor crítico, el conjunto no sigue una distribución uniforme
- Pruebas de independencia
  - Prueba de corridas arriba y abajo
    - Determinar secuencia de unos y ceros
      - Determinar el número de corridas observadas
        Se calcula el valor esperado, la varianza del número de corridas y el estadístico Z0
        Sí el estadístico Z0 está fuera del intervalo, se concluye que no son independientes
  - Prueba de Poker
    - Consiste en visualizar el número ri con 3, 4 y 5 decimales
      - Clasificarlo como: todos diferentes (TD), exactamente un par (1P), una tercia (T), una tercia y un par (TP), póker (P) y quintilla (Q)
        Determinar la categoría de cada número
        Contabilizar los números de la misma categoría
        Calcular el estadístico de la prueba
        Comparar el estadístico
        Si el estadístico es menor, no se rechaza
  - Prueba de series
    - Comparar los números y corroborrar independencia entre consecutivos
      - Se crea una gráfica de dispersión y se divide en m casillas
        Se determina la frecuencia observada
        Se procede a calcular el error o estadístico de prueba
        Sí el valor del error es menor o igual al estadístico de tablas, no se rechaza
  - Prueba de huecos
    - Comparar los números para verificar el tamaño del "hueco"
      - Definir un intervalo de prueba
        Se construye una secuencia de unos y ceros
        Se asigna un uno si el ri pertenece al intervalo (alfa, Beta)
        Se asigna un 0 si no pertenece al intervalo (alfa, Beta)
        Tamaño de hueco i es el número de ceros existentes entre unos consecutivos
        Se determina la frecuencia observada Oi y la frecuencia esperada Ei
        Se calcula el error o estadístico de prueba
        Si el error es menor o igual a estadístico de tablas, no se rechaza
Generación
- Para una simulación se requieren
  - Números aleatorios en el intervalo (0,1)
    - Se les hace referencia como ri = {r1, r2, r3, ...,rn}
      - "n" = nombre de período o ciclo de vida
      - Se generan por medio de algoritmos determiníticos
      - Se requiere contar con un conjunto suficientemente grande de ri
    - Deben ser sometidos a pruebas
      - Deben ser realmente independientes y uniformes
        Debe seguir una distribución uniforme continua
      - Superar las pruebas de uniformidad e independencia
        Evitar los siguientes problemas
        Varianza del conjunto muy alta o muy baja (1/2)
        Media del conjunto muy alta o muy baja (1/2)
        Que los números sean discretos (no continuos)
        Que los números del conjunto no esten uniformemente distribuidos
- Algoritmos determinísticos
  - No congruenciales
    - Cuadrados medios
      - Requiere un número detonador (Semilla) con D dígitos elevado al cuadrado
        1. Seleccionar una semilla (X0) con D (D>3)
        2. Sea Y0 = X0²; X1=D digitos del centro, y ri=0.D dígitos del centro
        3. Sea Y1 = Xi²; Xi+1=D digitos del centro, y ri=0. D dígitos del centro para toda i=1,2,3,...,n.
        4. Repetir paso anterior hasta obtener los n numeros ri deseados
    - Productos medios
      - Requiere dos semillas
        1. Seleccionar una semilla (X0) con D (D>3)
        2. Seleccionar una semilla (X1) con D (D>3)
        3. Sea Y0 = X0*X1; X2=D digitos del centro, y ri=0. D dígitos del centro.
        4. Sea Y1 = X1*Xi+1; Xi+2=D digitos del centro, y ri=0. D dígitos del centro para toda i=1,2,3,...,n.
        4. Repetir paso anterior hasta obtener los n numeros ri deseados
    - Multiplicador constante
      - 1. Seleccionar una semilla (X0) con D (D>3)
        2. Seleccionar una constante (a) con D (D>3)
        3. Sea Y0 = a*X0; X1=D digitos del centro, y ri=0. D dígitos del centro.
        4. Sea Y1 = a*Xi; Xi+1=D digitos del centro, y ri+1=0. D dígitos del centro para toda i=1,2,3,...,n.
        4. Repetir paso anterior hasta obtener los n numeros ri deseados
  - Congruenciales
    - Algoritmo lineal
      - Se genera una secuencia de números enteros con la siguiente ecuación
        Para el cálculo de números pseudoaleatorios se utiliza la siguiente ecuación
    - Multiplicativo
      - Surge del algoritmo congruencial lineal cuando c=0
        Implica una operación menos
        Se utiliza la siguiente ecuación
        Para transformar los números Xi en el intervalo (0,1) se usa la ecuación
    - Aditivo
      - Requiere de una secuencia previa de n números enteros para generar una nueva secuencia de numéros enteros con la siguiente ecuación
        Para el cálculo de números pseudoaleatorios se utiliza la siguiente ecuación
    - No lineales
      - Cuadrático
        Se logra a través de la siguiente ecuación recursiva
        Para el cálculo de números pseudoaleatorios se utiliza la siguiente ecuación
      - Blum, Blum y Shub
        Si en el algoritmo congruencial cuadrático a=1, b=0 y c=0, se construye una nueva ecuación
Propiedades
- Media de los aleatorios
  - Debe mostrar una distribución de probabilidad uniforme continua
    - Límite inferior cero
    - Límite superior uno
  - Se multiplica la función de densidad por xi
    - Se integra en todo el rango
      - Sustiyendo los valores de a=0 y b=1 da como resultado E(x)=1/2
- Varianza de los números aleatorios
  - Se obtiene por medio de la ecuación
    - - Para obtener E(x²)
        Sustituyendo a=0 y b=1
        E(x²)=1/3
        Sustituyendo todos los valores
        V(x)=1/3 - (½)² = 1/12
        Los números aleatorios entre 0 y 1 deben tener
        µ=½ y ð²=1/12
- Independencia
  - Los números aleatorios no deben tener correlación entre sí
    - Deben dispersarse de manera uniforme
Definición
- Serie de números aleatorios por sí mismos
- Aleatoriedad se extrapola a modelos de simulación
- Deben ser validados para verificar si son aptos para estudios de simulación