limites

Métodos para calcular límites.

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• El objeto de realizar estas transformaciones se utiliza los conocimientos del álgebra básica tales como operaciones con fracciones racionales, factorización de polinomios, racionalización y simplificación de expresiones algebraicas en general.
• En todos los casos se trata de líımites indeterminados de la forma 0/ 0 .
• Primer método: factorizar y simplificar
• Ejemplo 14.

RACIONALIZACIÓN

Segundo método: racionalizar y simplificar

• Ejemplo 17.
• Calcular lim. √ x − 2 /x − 4
• x→4
• Solución: En los casos anteriores utilizamos factorización y simplificación para obtener una nueva función. Aquí lo más conveniente es racionalizar el denominador; para ello multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracción por √ x + 2.

Folie 4

combinación de los anteriores

• Ejemplo 22.
• Calcular lim √ x + 4 − 1/ √2x + 7 − 1
• x→−3
• Solucion: En este caso procedemos por “doble racionalizacion”, del siguiente modo: Doble racionalizacion
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Factorización y simplificación de los límites

• FACTORIZACION Y SIMPLIFICACI´ ON´
• Factorizar es expresar un polinomio como producto de otros polinomios.
• Por ejemplo, si usted realiza el producto (x − 2)(x + 3) obtiene como resultado x2 + x − 6, en otras palabras: x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) de manera que (x − 2)(x + 3) es una factorizaci´on de x2 + x − 6, se dice que (x − 2) y (x + 3) son factores de x2 + x − 6.
• Simplificar un cociente de polinomios consiste en factorizar el numerador y el denominador y “tachar” los factores que sean id´enticos “arriba” y “abajo” en la fracción.
• Por ejemplo, x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) y x2 − 4 = (x − 2)(x + 2), entonces
• x 2 + x − 6/ x 2 − 4 = (x − 2)(x + 3)/(x − 2)(x + 2)= x + 3/ x + 2

Propiedades de los límites

• Operaciones con límites
• Suponga que f y g son funciones tales que limx→c f(x) = L limx→c g(x) = M entonces se tienen las siguientes propiedades:
• a) limx→c f(x) + g(x) = L + M. “El lımite de una suma de funciones es igual a la suma de los lımites de las funciones (cuando ´estos existen)”
• b) limx→c f(x) − g(x) = L − M. “El lımite de una resta de funciones es la resta de los lımites de esas funciones (cuando ´estos existen)”
• limx→c f(x)g(x) = L · M. “El l´ımite de un producto de funciones es el producto de los lmites de esas funciones (cuando ´estos existen)”
• d) limx→c f(x)/g(x) = L M , siempre que M 6= 0. “El lımite de un cociente de funciones es el cociente de los lımites de esas funciones (cuando ´estos existen y el lımite en el denominador es diferente de 0)”
• e) Si n es un numero entero entonces limx→c [f(x)]n = L n . Cuando n es negativo se debe tener que L 6= 0. “El lımite de una potencia de una funcion es la potencia del lımite de esa funci´on (cuando ´este existe y en caso de que el exponente sea negativo L 6= 0)”
• f) Si n es un n´umero natural entonces limx→c pn f(x) = √n L. En caso de que n sea par debemos tener L ≥ 0. “El l´ımite de la ra´ız n–´esima de una funci´on es la ra´ız n–´esima del l´ımite de la funci´on (cuando ´este existe y cuando n es par si es mayor o igual que 0)”

Ejemplo, propiedades de los limites

• Ejemplo 11
• lim x→3 x 2 + 1/ x + 2 =[limx→3 x] 2 + limx→3 1/limx→3 x + limx→3 2
• = 3 2 + 1/ 3 + 2
• = 10 /5 = 2
• Ejemplo 12.
• lim x→5 √ x + 4 − 1/ √ x + 4 − 1 = √ x + 4 − 1/ limx→5( √3 x 2 + 2 + 1)
• = √ limx→5 x + limx→5 4 − 1/3 limx→5 x 2 + limx→5 2 + 1
• = √ 5 + 4 − 1 /3 25 + 2 + 1
• = √ 9 − 1/ √3 27 + 1 = 3 − 1/3 + 1 = 2 /4 =1/2