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CALCULO VECTORIAL

existen dos tipos de campos

VECTORIAL

ESCALAR

Una función F que asigna a cada (x,y,z) de una región D en R^[n] un único vector F (x,y,z) de R^[n]

Una función f que asigna a cada (x,y,z) de una región D en R^[n] un único escalar f (x,y,z) de R^[n]

CAMPO VECTORIAL GRADIENTE

Se denomina campo vectorial gradiente cuando una función f (x,y,z) se considera el potencial de F tan función debe ser diferenciable en la misma región del campo vectorial, entonces: F(x) = ∇φ(x)

INTEGRALES DE LINEA

hay dos tipos de integrales de linea

INTEGRALES DE LINEA E CAMPOS ESCALARES

INTEGRALES DE LINEA EN CAMPOS VECTORIALES

Siendo f un campo campo escalar sobre una curva sin picos (suave) en R^[n], su integra de línea se define como:

Siendo F un campo vectorial continuo en R^[n], sobre una cuerva c y suave; se define su integra de línea como:

T=vector tangente unitario

si c tiene parametrizacion

c:r(t) a≤t≤b

VECTOR TANGENTE

VECTOR NORMAL,

tiene que ser consistente con la orientacion de la curva, si la orientacion es contraria a las manecillas se toma el vector exterior

si c tiene parametrizacion

c:r(t) a≤t≤b

TRABAJO

Siendo F un campo vectorial de fuerzas en una región de r^[n] sobre una curva suave parametrizada, el trabajo realizado para mover un objeto a lo largo de C, con orientación positiva es:

CIRCULACION

Siendo F un campo vectorial continuo en una región de r^[n] sobre una curva suave, cerrada orientable y parametrizada. La circulación alrededor y sobre c es:

Curva cerrada: aquella en la que su punto inicial es el mismo que su punto final, es decir que en una curva parametrizada r(a)=r(b)

si la circulación del campo a lo largo de una curva es independiente del camino

es un campo vectorial conservativo

FLUJO

Siendo f un campo vectorial de dos componentes, continuo en una región de r^[n] sobre una curva c suave simple (no se intercepta así misma) y parametrizada. El flujo atreves de este está dado por:

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA INTEGRAL DE LINEA

Se dice que F es conservativo si existe un campo escalar (ϕ) cuyo gradiente equivale al campo vectorial (F)

∇φ=F

Cuando f=<f,g,h> un campo vectorial, teniendo una región conexa o simplemente conexa en r^[3] , donde f,g,h tiene derivadas parciales de primer orden

Ձf/Ձy=Ձg /Ձx

Ձf/Ձz=Ձh/Ձx

Ձg/Ձz=Ձh/Ձy

Cuando el campo es conservativo tiene una función potencia.

Siendo F un campo vectorial continuo en una región abierta conectada y con función potencial se cumple que para todo a y b y toda curva suave a trozos C:

Cuando la integral sobre c, una curva suave a trozos cerrada da cero el campo vectorial es conservativo.

TEOREMA DE GRREN

Siendo F(f,g) un campo vectorial con derivadas parciales de primer orden; y siendo C una curva suave cerrada orientada en contra de las manecillas del reloj dentro de una región conexa y simplemente conexa.

TANGENCIAL O CIRCULACION

NORMAL O FLUJO

Cuando la orientación no coincide, la curva se debe adaptar. Se utiliza la función invirtiendo signos hasta lograr un vector normal que de la orientación necesaria

DIVERGENCIA Y ROTACIIONAL DE CAMPOS VECTORIALES

DIVERGENCIA

ROTACIONAL

divF=∇•F = <Ձ/Ձx,Ձ/ Ձy,Ձ/Ձz> •<f,g,h> = Ձf/Ձx + Ձg /Ձy + Ձh/Ձz

Si ∇•Fes igual a cero el campo vectorial es libre de fuente

Si F es conservativo entonces ∇xF=∇x(∇φ)=0, es decir su rotacional es un vector nulo

Si F tiene derivadas parciales de segundo orden continuas se cumple que: ∇. (∇xF)=0

INTEGRAL DE SUPERFICIE

CAMPO VECTORIAL PARA SUPERFICIES PARAMETRIZADAS

CAMPO ESCALAR PARA SUPERFICES PARAMETRIZADAS

siendo σ una superficie suave y parametrizada σ:ru,v=(xu,v,yu,v,zu,v) y con vectores tangenes continuos, definidos como:

ru=<Ձx/Ձu, Ձy/ Ձu, Ձz/Ձu>

rv=<Ձx/Ձv, Ձy /Ձv, Ձz/Ձv>

Cuando el producto cruz es diferente de un vector nulo, se cumple que:

En caso de que f(x,y,z) sea igual a 1, la integral calcula el área de la superficie.

Cuando el producto cruz es diferente de un vector nulo y la dirección del vector normal es consistente con la orientación, se cumple que

Siendo F(f,g,h) un campo vectorial y σ una superficie orientada de R3 cuya frontera es una curva C, la cual es suave, cerrada y con orientación consistente a σ, entonces:

Si el rotacional de F(∇xF) genera un vector nulo, sobre o a través de una región, abierta y simplemente conexa ( ) entonces se dice que F es conservativo sobre cualquier curva cerrada.

TEOREMA DE STOKES

TEOREMA DE GAUSS

Siendo F(f,g,h) un campo vectorial y σ una superficie orientada de R3, la cual es suave, a trozos y orientable, entonces: