ELEMENTOS DEL CALCULO

ELEMENTOS DEL CALCULO

DEFINICION DE LOS LIMITES

PROCESO DEL LIMITE

CALCULO DE UN LIMITE

VALOR ABSOLUTO Y CONSIDERACIONES

Mediante graficos y tablas de valores de las funciones se introduce el concepto del limite de una funcion en un punto. Tambien se proporciona casos en los cuales el liımite no existe.

EJEMPLO:

¿Que le sucede a f(x) = x 2 + 3 cuando x se acerca a 3?

Solucion: La figura 2.18 corresponde a la grafica de esta funcion. En ella podemos ver que entre mas cerca se encuentren de 3 los valores de x, entonces los valores de f(x) se encuentran mas cercanos a 12.

Recuerde que el valor absoluto se define de la siguiente manera:

|x| = � x si x ≥ 0 −x si x < 0

Lo anterior significa que si un numero es positivo o cero entonces es igual a su valor absoluto y si el numero es negativo entonces su valor absoluto es su opuesto.

Algunas propiedades 1) |x| ≥ 0 para todo x ∈ R 2) |xy| = |x| |y| para todo x, y en R 3) |x + y| ≤ |x| + |y| para todo x, y en R 4) |x| < k es equivalente a −k < x < k 5) |x| > k es equivalente a x > k o x < −k

Decimos que el lımite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a c, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Esto se escribe limx→c f(x) = L.

La situacion anterior tambien se puede escribir como:

f(x) → L cuando x → c

En esta seccion se establecen las propiedades de los lımites y se dan algunas tecnicas que permiten calcular muchos liımites de funciones algebraicas, sin tener que recurrir ni a graficas ni a tablas.

Esto esta bien para introducir el concepto y tratar de aclarar su significado. En algunas ocasiones esto nos permite tambien tener una idea bastante acertada del lımite, sin embargo el uso graficas o de tablas para calcular lımites no es todo lo eficiente que quiseramos. Basicamente tenemos algunos problemas:

• A veces no se conoce la grafica de una funcion, o es muy difıcil de trazar.

• Para algunas funciones en general es muy engorrosa la elaboracion de la tabla utilizando unicamente una sencilla calculadora.

• No siempre el valor que uno puede inferir de la tabla es el correcto.

Se puede tomar atajos que nos permiten efectuar calculos mas rapidos y, a la vez, con la certeza de la validez de los resultados obtenidos. En el caso de los lımites esto se logra con el uso adecuado de algunos teoremas que daremos a continuacion como propiedades de los lımites

El lımite de una funcion constante