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Interpolación

La interpolación resolverá el problemas de hallar la expresión analítica de una función g(x) que sirva para aproximar a otra función f(x) para x en algún intervalo [a, b]. Problemas como este aparecen en la teoría y en la práctica con gran frecuencia; a veces porque no se conoce una expresión analítica para la función f(x), sino valores aislados f(x1), f(x2), ..., f(xn) de la misma y se necesita disponer de una expresión analítica que permita, aunque sea de manera aproximada, poder evaluar la función en otros valores de x; en otras ocasiones el algoritmo algebraico para calcular f(x), aunque se conoce, resulta tan complicado que se prefiere hallar una función g(x) de una clase más simple y utilizarla en lugar de f(x), aun sabiendo que se está incurriendo en un error.

Los números x0, x1,..., xn suelen llamarse puntos o nodo de interpolación. Si x no es un nodo de interpolación, al número real g(x) se le llama valor interpolado. Con frecuencia se utiliza la frase valor extrapolado para referirse a g(x) cuando x es mayor que el mayor nodo de interpolación o menor que el menor de ellos. La función g(x) se denomina función interpoladora y debe ser lo suficientemente simple como para que resulte fácil y rápido evaluarla en los puntos deseados; por esta razón, lo más usual es utilizar polinomios de grado pequeño con este fin.

Tipos

Interpolación Polinomial:

Cuando la función interpoladora es un polinomio, la interpolación se llama polinomial. Si se supone conocido el conjunto {x0, x1,..., xn} de nodos de interpolación, para los cuales se conocen las imágenes de la función f: yi = f(xi)

i = 0, 1, ..., n

Splines:

En términos muy generales, una función spline es una función polinomial por tramos que es continua y posee derivada continuas hasta un cierto orden. Además de las condiciones de continuidad y suavidad, el spline deberá satisfacer algunas otras condiciones adecuadas al problema que se desea resolver: pasar por un conjunto de puntos de la gráfica de f(x) (spline interpolador), aproximarse a un conjunto de puntos experimentales (spline de mejor ajuste), cumplir ciertos requerimientos estéticos y además en cuanto al valor en algunos puntos de control (problemas de diseño gráfico), etc.