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LA PARABOLA

LA PARABOLA

• En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica de excentricidad igual a 1,1​ resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.2​nota 1​nota 2​ Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz,nota 3​ y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.
• La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).
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PROPIEDADES GEOMETRICAS

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• Caption: Construcción de puntos en una parábola.
• Caption: Los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco F y de la recta directriz.

Lado recto

• Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. Debido a la ecuación que representa a esta curva, surge el siguiente teorema:La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.Siendo {\displaystyle D}, {\displaystyle E} los extremos del lado recto y {\displaystyle T} , {\displaystyle U} las respectivas proyecciones sobre la directriz, denotando por {\displaystyle W} la proyección del foco {\displaystyle F} sobre la directriz, se observa que {\displaystyle FEUW} y {\displaystyle DFWT} son cuadrados, y sus lados miden {\displaystyle FW=2FV}. Por tanto el,segmento {\displaystyle DE} es igual a 4 veces el segmento {\displaystyle FV} (la distancia focal).Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman ángulos de 45° con el mismo, consecuencia de que {\displaystyle FEUW} y {\displaystyle DFWT} sean cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior. Además, tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente en el punto de proyección {\displaystyle W} del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para construir una aproximación geométrica del foco y la directriz cuando éstos son desconocidos.
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• Caption: El lado recto mide 4 veces la distancia focal

Semejanza de todas las parábolas

• Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad {\displaystyle e=1}. La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.
• Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes.
• Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz.
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• Caption: Todas las parábolas son semejantes, es únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.

Tangentes a la parábola

• Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece:La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.Llamemos F al foco de una parábola, {\displaystyle P} a un punto cualquiera de la misma y {\displaystyle T} a la proyección de este sobre la directriz. Sea {\displaystyle MP} la mediatriz del triángulo {\displaystyle FPT}, el cual es isósceles por ser iguales las distancias {\displaystyle FP} y {\displaystyle PT}, como se ha visto. Luego {\displaystyle MP} biseca al ángulo {\displaystyle FPT}, restando verificar si es tangente a la parábola en el punto P.
• Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz. Puesto que {\displaystyle FQ=QU} y {\displaystyle QU<QT}, entonces {\displaystyle FQ<QT}. Dado que esto es cierto para cualquier otro punto de la parábola, se concluye que toda la parábola está de un mismo lado de {\displaystyle MP}, y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la parábola que toque a la recta {\displaystyle MP}, esto quiere decir que {\displaystyle MP} es la tangente de la parábola en {\displaystyle P}.
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• Caption: La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

Curva dual de la parábola.

• La curva dual de la parábola respecto a un círculo interior es una elipse. Si el centro del círculo es el foco de la parábola entonces su dual es un círculo. La dual de la parábola respecto a un círculo exterior es una hipérbola. Si el centro del círculo esta sobre la parábola su dual es otra parábola.

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• Caption: Dual de la parábola. Centro del círculo en el interior de la parábola.
• Caption: Dual de la parábola. Centro del círculo en el foco de la parábola.

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• Caption: Dual de la parábola. Centro del círculo en el exterior de la parábola.
• Caption: Dual de la parábola. Centro del círculo sobre la párabola.

Radio de curvatura

• Sea el punto { M(x_{1},y_{1})} entonces el radio de curvatura es
• {\displaystyle R={\frac {(p+2x_{1})^{1.5}}{\sqrt {p}}}={\frac {p}{sen^{3}u}}={\frac {n^{3}}{p^{2}}}}
• siendo la ecuación de la parábola
• {\displaystyle y^{2}=2px}, donde u es la pendiente de la recta tangente en M; n, longitud de la normal MN

Ecuaciones de la parábola

• Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
• Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma {\displaystyle y=ax^{2}} donde el parámetro {\displaystyle a} especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
• Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,3​ y se bosquejará a continuación usando notación moderna.
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• Caption: Parábolas tipo y = ax2, con a = 4, 1, 1⁄4 y 1⁄10.

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• Por el teorema de potencia de un punto:
• {\displaystyle QV^{2}=HV\cdot VK}.
• Al ser {\displaystyle PM} paralela a {\displaystyle AC}, los triángulos {\displaystyle HVP} , {\displaystyle HKA} y {\displaystyle BCA} son semejantes y así:
• {\displaystyle {\frac {HV}{PV}}={\frac {HK}{KA}}={\frac {BC}{AC}}}.
• Usando nuevamente los paralelismos:
• {\displaystyle {\frac {VK}{PA}}={\frac {HK}{HA}}={\frac {BC}{BA}}}.
• Despejando {\displaystyle HV} y {\displaystyle VK} para sustituir en la fórmula de {\displaystyle QV^{2}} resulta en
• {\displaystyle QV^{2}=HV\cdot VK=\left({\frac {BC\cdot PV}{AC}}\right)\left({\frac {BC\cdot PA}{BA}}\right)=\left({\frac {BC^{2}\cdot PA}{BA\cdot AC}}\right)PV}.
• Pero el valor de {\displaystyle \left({\frac {BC^{2}\cdot PA}{BA\cdot AC}}\right)} es una constante pues no depende de la posición de {\displaystyle V}, por lo que haciendo
• {\displaystyle a={\frac {BA\cdot AC}{BC^{2}\cdot PA}},}
• arroja la expresión moderna {\displaystyle y=ax^{2}} .

PARÁBOLA ECUACIÓN CANÓNICA

• Ecuación canónica de la parábola (Embed)