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Elementos del cálculo diferencial

• EL CONCEPTO DE FUNCIÓN Recuerde que una función es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto A (llamado dominio de la función) un único elemento en un conjunto B (llamado codominio de la función). Si la función se denota por f entonces se escribe f : A −→ B. Si x es un elemento de A, su elemento asociado y de B se llama la imagen de x.
• GRÁFICAS DE FUNCIONES
• Dada una función real de variable real, generalmente podemos hacer una representación gráfica que nos permita conocer mejor la función.
• Si tenemos la función f : A −→ B, con y = f(x), representamos en un sistema de ejes coordenados pares ordenados de números reales (x, y), donde y es la imagen de x (siendo x elemento de A). Por ejemplo, para representar la función f : R −→ R tal que f(x) = 2 − x 2 , consideramos una tabla de valores. De la tabla se obtienen varios pares ordenados de números reales que corresponden a puntos que van a estar en la gráfica de la función. Estos son: (−2, −2), (−1, 1), (0, 2), (1, 1), (2, −2). De modo que en el sistema de ejes dibujamos esos puntos y luego trazamos una curva que los contenga. El dibujo resultante es un bosquejo de la gráfica de la función dada.

LA ECUACIÓN DE LA RECTA

• Recuerde que la ecuación de una recta (no vertical) está dada por y = mx + b. El valor m se llama la pendiente de la recta y es una medida de la inclinación de la recta con respecto al eje x; el valor b se llama y−intersección y determina la ordenada del punto en que la recta corta al eje y. Si los puntos (x1, y1) y (x2, y2) pertenecen a la recta entonces podemos calcular la pendiente mediante la fórmula m = y2 − y1 x2 − x1.
• y la intersección se puede calcular mediante b = y1 − mx1 o b = y2 − mx2. Por ejemplo si una recta ` contiene los puntos (−1, 3) y (2, 4), entonces ✲ ✻ θ b ` : y = mx + b ♣ ♣ (x1, y1) (x2, y2) m = y2 − y1 x2 − x1 y x qs s m = 4 − 3 2 − (−1) = 1 3 y b = 4 − 1 3 · 2 = 4 − 2 3 = 10 3 . De manera que la ecuación de la recta es y = 1 3 x + 10 3 .
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El límite

• Propiedades de los límites Los límites especiales comentados anteriormente junto con las propiedades generales de los límites que vamos a dar aquí, nos permitirán calcular una gran cantidad de límites sin recurrir a tablas o a gráficas.
• FACTORIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN
• Factorizar es expresar un polinomio como producto de otros polinomios. Por ejemplo, si usted realiza el producto (x − 2)(x + 3) obtiene como resultado x 2 + x − 6, en otras palabras: x 2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) de manera que (x − 2)(x + 3) es una factorización de x 2 + x − 6, se dice que (x − 2) y (x + 3) son factores de x 2 + x − 6.
• Simplificar un cociente de polinomios consiste en factorizar el numerador y el denominador y “tachar” los factores que sean idénticos “arriba” y “abajo” en la fracción. Por ejemplo, x 2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) y x 2 − 4 = (x − 2)(x + 2), entonces x 2 + x − 6 x 2 − 4 = (x − 2)(x + 3) (x − 2)(x + 2) = x + 3 x + 2

Cálculo de límites: métodos

• Primer método: factorizar y simplificar
• lim x→3 x 2 − 9 x 2 − x − 6 = lim x→3 (x − 3)(x + 3) (x − 3)(x + 2) = lim x→3 x + 3 x + 2 = 3 + 3 3 + 2 = 6 5
• RACIONALIZACIÓN En una fracción algebraica que contenga radicales, racionalizar es eliminar el radical del denominador o del numerador. Normalmente el radical no desaparece del todo de la expresión sino que “cambia de lugar”.
• Segundo método: racionalizar y simplificar
• . Aquí lo más conveniente es racionalizar el denominador; para ello multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracción por √ x + 2. lim x→4 √ x − 2 x − 4 = lim x→4 ( √ x − 2)(√ x + 2) (x − 4)(√ x + 2) = lim x→4 x − 4 (x − 4)(√ x + 2) = lim x→4 1 √ x + 2 = 1 √ 4 + 2 = 1 4

Cálculo de límites: métodos

• Tercer método: combinación de los anteriores
• lim x→−2 x 2 + x − 2 √ 6 + x − 2
• = lim x→−2 (x 2 + x − 2)/(√ 6 + x + 2) ( √ 6 + x − 2)(√ 6 + x + 2)
• = lim x→−2 (x 2 + x − 2)(√ 6 + x + 2) /6 + x − 4
• = lim x→−2 (x 2 + x − 2)(√ 6 + x + 2)/ x + 2
• = lim x→−2 (x + 2)(x − 1)(√ 6 + x + 2)/ x + 2
• = lim x→−2 (x − 1)(√ 6 + x + 2)
• = −12
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