Factorización de Expresiones Algebráicas

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Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados

P r o c e d i m i e n t o :

Para factorar una combinación de un trinomio cuadrado perfecto y una diferencia de cuadrados perfectos, se procede como sigue:

1. Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los trinomios cuadrados perfectos)

2. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto (como en el Ejercicio 92)

3. Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante (como en el Ejercicio 94).

4. Se reduce, si es el caso

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Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

P r o c e d i m i e n t o :

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, esto es, para factorar una suma de cuadrados, se procede como sigue:

1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos

2. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior

3. Se suma y se resta el producto hallado en el paso anterior

4. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto así formado 5. Se factoriza la diferencia de cuadrados

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Más ejercicios resueltos sobre la combinación de trinomios cuadrados perfectos y diferencia de cuadrados:

Ejercicio 96: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Más ejercicios resueltos sobre este tema:

Ejercicio 97: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Factorar una suma de dos cuadrados.

Trinomio de la forma x^2+bx+c

P r o c e d i m i e n t o : 1. Se ordena el trinomio

2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio

3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis

4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio

5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis

6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio

7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio

8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis

9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8

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Más ejercicios resueltos sobre este tema:

Ejercicio 98: Trinomio de la forma x^2+bx+c

Ejercicio 99: Trinomio de la forma x^2+bx+c. Caso especial

Factorar una expresión que es el cubo de un binomio

Trinomio de la forma ax^2+bx+c

P r o c e d i m i e n t o :

Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma x^2+bx+c y se factoriza como en el Ejercicio98:

1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a

2. Se escribe el trinomio de una forma adecuada (de la forma x^2 + bx+ c)

3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio

4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis

5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio

6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis

7. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio

8. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio

9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis

10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8

11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común

12. Se simplifica Nota: siempre es posible eliminar el denominador .

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P r o c e d i m i e n t o :

El desarrollo del cubo de un binomio es: En esta clase de ejercicios se nos da una expresión como el miembro derecho de las identidades anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se trata de un cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones anteriores); para lo cual debemos proceder de la siguiente manera:

1. Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a una letra

2. Se extrae la raíz cúbica del primero y cuarto términos del cuadrinomio

3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo-negativo-positivo-negativo

4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el segundo término del cuadrinomio dado

5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el tercer término del cuadrinomio dado

6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del desarrollo del cubo de un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesis se escriben las raíces cúbicas del primero y cuarto términos del cuadrinomio y separadas por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se eleva al cubo el paréntesis 7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal.

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Más ejercicios resueltos sobre este tema:

Ejercicio 100: trinomio de la forma ax^2+bx+c

Ejercicio 101: trinomio de la forma ax^2+bx+c. Caso especial

Más ejercicios resueltos sobre este tema:

Ejercicio 102: factorar una expresión que es el cubo de un binomio

Ejemplo ilustrativo: