Ecuaciones Cuadraticas

Ecuaciones Cuadráticas  

 

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax^2 + bx + c, donde  a, b, y c son números reales. 
  Ejemplo:

9x^2 + 6x + 10         a = 9               b = 6                c = 10

3x^2  - 9x                 a = 3                b = -9               c = 0

-6x^2 + 10                a = -6               b = 0                c = 10 
  
 

Hay tres formas de hallar el o los valores de la variable de las ecuaciones cuadráticas: 
 

 

 

Forma 1: Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. 
  
Realizar la factorización simple de la ecuación

Hay que buscar dos números que multipliquen y den el valor de “c” y que a la vez sumen y el valor sea igual a “b”. En este caso, dos números cuyo producto sea -8, y que estos mismos números sumen 2.

 x^2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8 
 

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x^2] 
 

( x + y )   (x  -  z ) = 0                                               Operación

                                                                                y= 4   y    z=2     

(x + 4 ) (x – 2) = 0                                  4 + -2 = 2             ;           4 · -2 = -8             

 

 

 

Ejercicios de Practicas 

5a^2 + 15a = 0

r^2 – 5r + 6 = 0.

5b^2 + 4 = -12b

 

 

 

Video Recomendado 

https://www.youtube.com/watch?v=dXakJkBRpqM

                                                                    
  
 

Forma 2: Completando el Cuadrado:

  En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. 
 Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 
  
*   Hay que despejar por la constante “a”,  en este caso es 4

4x2 + 12x – 8  = 0 
 4        4      4      4

x2 + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1. 

 

Pasos a realizar 

1°   Cuando ya esté en su forma donde a = 1.

                             x^2 + 2x – 8 = 0           

2°   Pasar a “c” al lado opuesto.

                             x2 + 2x = 8                 

3°   Colocar los blancos. 

                             x2 + 2x + ___ = 8 + ___   

4°    En el blanco, colocar la mitad de “b” al cuadrado.   2/2= 1 ; 1^2=1

                              x2  + 2x + 1    = 8 + 1

5°     Resolver las sumas

                              x2  + 2x + 1 = 9

6°     Hay que factorizar. 

                              (       )  (      )  = 9   

7°   Resolver la factorización como en la forma 1    

                             ( x + 1) (x + 1) = 9

                                  (x + 1)^2 = 9

'*'Para eliminar el exponente, hay que colocar raíz cuadrada

                             (x + 1) = ± √9

                               x + 1 =  ± 3

                                x = -1 ± 3       

* Separar las dos soluciones.

                    x = -1 + 3       x = -1 – 3 
                       x = 2               x = -4 
                            

Nota: x^2 = 9

            x = ± √9

            x = ± 3 ;    Ya que 3^2 = 9 y (-3)^2 = 9 

± 3 significa 3 y -3 

Nota: Siempre será un cuadrado perfecto. 
  
  
 

  
 

Forma 3: Fórmula Cuadrática:

 Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: 
  
  
X = -b  +  √(b^2 – 4ac) 

   2a

 

 

X^2 + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8 

Pasos a realizar

1°   Sustituir valores

                      X= -2  +  √(2^2 – 4(1)(-8))

                                          2(1)

2°    Resolver las operaciones que están dentro de la raíz

                         X= -2  +  √(4 – 4(1)(-8))

                                          2(1)

                           X= -2  +  √(4 – 4(-8)) 

                                          2(1)

                            X= -2  +  √(4 + 32) 

                                          2(1)

                               X= -2  +  √36

                                           2

                                          

3°  Resolver la raíz   

                                  x = -2 ± 6 
                                            2

4°  Separar la operación 

                         X =  -2 + 6     x = -2 - 6 
                                     2                  2 
5°   Resolver cada operación 

                               x = 4          x = -8 
                                     2                  2

6° Resultado 

                                    x = 2      x = - 4 

 

 

Ejercicios de Practica 

1.-       x^2 −3x −4 = 0

2.-       5x^2 −6x −1 = 0

3.-       3x^2 −24 x   = 0

 

 

Video Recomendado 

https://www.youtube.com/watch?v=sdWh5CnYIX4

 

http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html