Flashcards
ESPACIOS VECTORIALES
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- 1¿Que es un Espacio Vectorial?Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores,
en el que están defnidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por
escalares (números reales), sujetas a los diez axiomas (o reglas) que se enlistan a
continuación.1 Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en
V y todos los escalares c y d - 2¿Que es un subespacio?Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto H de V que tiene tres
propiedades: - 3¿Que es un Espacio Nulo?El espacio nulo de una matriz A de m × n, que se escribe Nul A, es el conjunto
de todas las soluciones de la ecuación homogénea Ax = 0. En notación de conjuntos, - 4¿Que es un espacio Columna?El espacio columna de una matriz A de m × n, se escribe Col A, es el conjunto
de todas las combinaciones lineales de las columnas de A. Si A = [a1 · · · an],
entonces - 5¿Que es una Transformacion Lineal?Una transformación lineal T de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W
es una regla que asigna a cada vector x en V un único vector T(x) en W, de modo
que - 6¿Que es una Base?Sea H un subespacio de un espacio vectorial V. Un conjunto indexado de vectores
B = {b1, . . . , bp} en V es una base para H si - 7¿Cordenadas Relativas?Suponga que el conjunto B = {b1, . . . , bn} es una base para V y que x está en V.
Las coordenadas de x relativas a la base B (o las B-coordenadas de x) son los
pesos c1, . . . ,cn tales que x = c1b1 + · · · + cnbn - 8¿Que es una dimension?Si V es generado por un conjunto f nito, se dice que V es de dimensión fnita, y la
dimensión de V, que se escribe dim V, es el número de vectores en una base de V.
La dimensión del espacio vectorial cero {0} se def ne como cero. Si V no es generado por un conjunto f nito, entonces se dice que V es de dimensión infnita - 9¿Que es un rango?El rango de A es la dimensión del espacio columna de A.
- 10T E O R E M A 1Si v1, . . . , vp están en un espacio vectorial V, entonces Gen{v1, . . . , vp} es un
subespacio de V. - 11T E O R E M A 2El espacio nulo de una matriz A de m × n es un subespacio de Rn. De manera equivalente, el conjunto de todas las soluciones de un sistema Ax = 0 de m ecuaciones
lineales homogéneas con n incógnitas es un subespacio de Rn. - 12T E O R E M A 3El espacio columna de una matriz A de m × n es un subespacio de Rm
- 13T E O R E M A 4Un conjunto indexado {v1, . . . , vp} de dos o más vectores, con v1 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, algún vj (con j > 1) es una combinación lineal de
los vectores anteriores, v1, . . . , vj−1. - 14T E O R E M A 5Teorema del conjunto generador
Sea S = {v1, . . . , vp} un conjunto en V, y sea H = Gen{v1, . . . , vp}.
a. Si uno de los vectores de S —por ejemplo, vk— es una combinación lineal de
los vectores restantes de S, entonces el conjunto que se forma a partir de S al
retirarle vk todavía genera H.
b. Si H =/ {0}, algún subconjunto de S es una base para H - 15T E O R E M A 6Las columnas pivote de una matriz A forman una base para Col A
- 16T E O R E M A 7El teorema de representación única
Sea B = {b1, . . . , bn} una base para un espacio vectorial V. Entonces, para cada x
en V, existe un único conjunto de escalares c1, . . . , cn tal que
x = c1b1 + · · · + cnbn (1) - 17T E O R E M A 8Sea B = {b1, . . . ,bn} una base para un espacio vectorial V. Entonces la función de
coordenadas x → [x]B es una transformación lineal uno a uno de V sobre Rn. - 18T E O R E M A 9Si un espacio vectorial V tiene una base B = {b1, . . . , bn}, entonces cualquier
conjunto que contenga más de n vectores debe ser linealmente dependiente. - 19T E O R E M A 10Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores, entonces toda base de V
debe consistir en exactamente n vectores. - 20T E O R E M A 11Sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensión fnita V. Cualquier
conjunto linealmente independiente en H puede ampliarse, de ser necesario, hasta
constituir una base para H. También, H es de dimensión fnita y
dim H ≤ dim V - 21T E O R E M A 12El teorema de la base
Sea V un espacio vectorial de dimensión p, p ≥ 1. Cualquier conjunto linealmente
independiente con exactamente p elementos en V es, de manera automática, una
base para V. Cualquier conjunto de exactamente p elementos que genere V es automáticamente una base para V. - 22T E O R E M A 13Si dos matrices A y B son equivalentes por f las, entonces sus espacios de fla son
iguales. Si B está en forma escalonada, entonces las flas distintas de cero de B
constituyen una base para el espacio fla de A y para el de B - 23T E O R E M A 14El teorema del rango
Las dimensiones del espacio columna y del espacio f la para una matriz A de m × n
son iguales. Esta dimensión común, el rango de A, también es igual al número de
posiciones pivote incluidas en A y satisface la ecuación
rango A + dim Nul A = n - 24TEOREMAEl teorema de la matriz invertible (continuación)
Sea A una matriz n × n. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes a la
af rmación de que A es una matriz invertible.
m. Las columnas de A forman una base para Rn.
n. Col A = Rn.
o. dim Col A = n
p. rango A = n
q. Nul A = {0}
r. dim Nul A = 0 - 25T E O R E M A 15Sean B = {b1, . . . , bn} y C = {c1, . . . , cn} las bases de un espacio vectorial V.
Entonces existe una sola matriz C←PB de n × n tal que
[ x ]C = C←PB [ x ]B (4)
Las columnas de C←PB son los vectores de C-coordenadas de los vectores de la
base B. Esto es,
P
C←B = [b1]C [b2]C · · · [bn]C (5) - 26T E O R E M A 16Si an 0 y si {zk} está dada, la ecuación
yk+n + a1yk+n−1 + · · · + an−1yk+1 + anyk = zk para toda k (7)
tiene una solución única para cualesquiera y0, . . . , yn−1 especifcadas - 27T E O R E M A 17El conjunto H de todas las soluciones de la ecuación lineal en diferencias homogénea de grado n
yk+n + a1yk+n−1 + · · · + an−1yk+1 + anyk = 0 para toda k (10)
es un espacio vectorial de dimensión n. - 28T E O R E M A 18Si P es una matriz de n × n estocástica regular, entonces P tiene un único vector
de estado estacionario q. Además, si x0 es cualquier estado inicial y xk+1 = Pxk
para k = 0, 1, 2, . . . , entonces la cadena de Markov {xk} converge hacia q cuando
k → ∞.
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- Flashcards on ESPACIOS VECTORIALES, created by RESUMEN OSTOS on 11/03/2019.
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