Flashcards
17.2 Approximation von Funktionen durch Polynome
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- 1Was ist das n-te Taylorpolynom einer Funktion?Ein Polynom n-ten Grades, welche die Funktion an einer Stelle Näherungsweise darstellt. Also Die Polynomfunktion:
\( P_{n,a}(x) = a_0 + a_1(x − a)^1 + · · · + a_n(x − a)^n \) - 2Warum werden die k-ten Ableitungen zur Näherung einer Funktion mit Taykorpolynomen benötigt?Weil man nach Polynomen sucht, deren
k-te Ableitung (Steigung) am Entwicklungspunkt gleich der Ableitung der Funktion an der Entwicklungsstelle sind. - 3Wie lautet die Formel zur Bestimmung des k-ten Koeffizienten des Taylorpolynoms an der Stelle a?Die k-te Ableitung von f an der Stelle a geteilt durch k Fakultät.
\( \frac{f^{(k)} (a)}{k!} \) - 4Woher kommt die Fakultät im Nenner der Formel zur Berechnung des k-ten Koeffizienten \( a_k \) eines Taylorpolynoms?Durch das Hintereinander-Ableiten. Da die Exponenten jedes polynomialen Terms dabei nach vorn kommen..
- 5Gib den ersten drei Taylorpolynomen möglichst sinnvolle Namen!Annäherung der Funktion durch:
1. Eine Gerade
2. Eine Parabel
3. eine kubische Parabel - 6Was ist das sogenannte Restglied einer Funktion?Die Funktion, bzw. der "Rest" der übrig bleibt, wenn man eine Funktion durch ein Taylorpolynom annähert.
\( f(x) = P_{n,a}(x) + R_{n,a}(x) \) - 7Welche formale Kurzschreibweise wird i.d.R. für das n-te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a verwendet?\( P_{n,a}(x) \)
- 8Wozu dient der Satz von Taylor?Zur Abschätzung des Restgliedes bei der Approximation einer Funktion mit Taylorpolynomen.
- 9Was besagt der Satz von Taylor?Das Restglied einer auf [a,x] def. Funktion mit:
\( f(x) = P_{(n,a)} + R_{(n,a)} \)
kann mit der Cauchy-Form oder der
Lagrange-Form des Restgliedes abgeschätzt werden. - 10Wie lautet die Langrange-Form zur Abschätzung des Restgliedes einer Funktion?\( \frac {f^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} \)
- 11Worin unterscheidet sich die Formel für die Lagrangeform des Restgliedes von der allgemeinen Formel für einen k-ten Koeffizienten eines Taylorpolynoms?\( t_0 \) statt a im Zähler,
die (n+1) -te Ableitung und Fakultät anstatt nur n,
und es kommt ein Faktor (x-a)^{n+1} dazu. - 12Wodurch unterscheidet sich die Formel der Couchyform für das Restglied zu der Formel für einen k-ten Koeffizienten eines Taylorpolynoms?(n+1) -te Ableitung
\(t_1\) statt a im Zähler
zwei zusätzliche Faktoren:
(x-a) \( (x - t_1)^n \) - 13Eine Funktion, deren Ableitung nach endlich vielen Schritten 0 ist, muss eine.. ?Polynomfunktion sein.
- 14Gilt für eine stetige Funktion: \( f'(x_0) = f^n (x_0) = 0 \) und \( f^{n+1} < 0 \) bei ungeradem n, dann ist \( x_0\) ?Eine Maximalstelle von f
- 15Gilt für eine stetige Funktion: \( f'(x_0)= f^n(x_0) = 0 \) und \( f^{n+1} > 0 \) bei ungeradem n, dann ist \( x_0\) ..?eine Minimalstelle von f
- 16gilt für eine stetige Funktion f: \( f'(x_0) = f^n(x_0) = 0 \) und n ist gerade.., dann ist \(x_0\) ?keine Extremstelle von f.
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- Mathematik (Grundlagen KE 6) Flashcards on 17.2 Approximation von Funktionen durch Polynome, created by David Bratschke on 14/06/2017.
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- David Bratschke
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