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Espacios Vectoriales

Subespacio vectorial

Combinación lineal

Base y dimensión de un espacio

Base ortormal

Espacio Vectorial con producto interno

Un conjunto no vacio de objetos, donde la suma de 2 objetos (X,Y en V) y una multiplicación de un objeto (Xen V) por un numero real cualquiera.

Propiedades.

Llamamos u+vu+v a la suma de vectores en VV, y αvαv al producto de un número real αα por un vector v∈Vv∈V.

1. u+v∈Vu+v∈V

2. u+v=v+uu+v=v+u

3. (u+v)+w=u+(v+w)(u+v)+w=u+(v+w)

4. Existe un vector nulo 0V∈V0V∈V tal que v+0V=vv+0V=v

5. Para cada vv en VV, existe un opuesto (–v)∈V(–v)∈V tal que v+(–v)=0Vv+(–v)=0V

6. αv∈Vαv∈V

7. α(u+v)=αu+αvα(u+v)=αu+αv

8. (α+β)v=αv+βv(α+β)v=αv+βv

9. α(βv)=(αβ)vα(βv)=(αβ)v

10. 1v=v

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.

Propiedades

1). El vector cero de V está en H.2

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en

H, la suma u + v está en H.

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.Esta combinación lineal es única.

Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:1v1+α2v2+…+αnvn

donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denomina combinación lineal

Dependencia Lineal

.Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares tales que: c1v1+c2v2+…+ckvk=0

Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).

Si k>n

Los vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro.

Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano.

Independencia Lineal

Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Sean u1, u2, …,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.

Los vectores son linealmente independientes si A es invertible

Si k>n

Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.

Una base posee 2 características que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S.

En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas

La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn.

Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:

1. V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn

2. V = k1v1+ k2v2+…+ knvn

Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas

El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.

u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)

‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V

Propiedades

1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0

2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›

3. ‹u, cv› = c‹u, v›.

Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.

Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

Un conjunto de n vectores en es una base ortonormal si:

·El conjunto es base de

·Es un conjunto ortogonal y

·Sus vectores son unitarios

Nicte-Ha de Jesus Ceballos Guemez.