Conjuntos Numéricos

Conjuntos Numéricos

Los conjuntos numéricos utilizados en las matemáticas básicas son: Naturales (N), enteros (Z), racionales (Q), irracionales (*Q), reales (R), y complejos (C).

Continuación Números Racionales: Cuando el número racional tiene numerador mayor o igual que el denominador, por ejemplo 7 2 ; se expresa de la siguiente forma: 7 2 = 3+ 1 2 . Como es positivo, se toman 3 unidades a la derecha de cero y se le suma 1 2 de la unidad.

Ejemplo:

Los Números Racionales (Q): permiten representar partes de una unidad. Tienen la propiedad de que se pueden escribir como el cociente de dos números enteros, m/n, en el que m es el numerador y n el denominador, que no puede ser 0 (cero). Se definen de la siguiente manera: Q = { n/m : n, m ∈ Z ∧ n diferente de 0}, es decir: a/b, donde a y b son enteros con b diferentes de 0.

Los Números enteros (Z): Los enteros incluyen los números naturales, los negativos de cada número natural y el número cero (0). De este modo, podemos representar el sistema de los enteros mediante.

EJEMPLO:

Z= ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .

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los Números Reales (R): Formado por los racionales e irracionales.

Cuando dos números reales se suman, el resultado siempre es un número real; pasa de manera similar, cuando dos números reales se multiplican, también el resultado es un número real. Estas dos operaciones de adición y multiplicación son fundamentales en el sistema de los números reales y poseen ciertas propiedades.

PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS: Si a, b y c son números reales cualesquiera, entonces,

a(b + c) ab + ac y (b + c)a = ba + ca

Ejemplo:

2(3 + 7) = 2(3) + 2(7) = 6 + 14 = 20. Esto es sin duda cierto porque 2(3 + 7) = 2 x10 = 20. Por otra parte, (-2)[3 + (-7)] = (-2)(3) (-2)(-7) = -6 + 14 = 8.

Podemos evaluar la expresión dada directamente, obteniendo la misma respuesta: (-2)[3 + (-7)] = (-2)(-4) = 8.

Los Números Naturales (N): Un Número Natural Puede ser cualquier número que se utilice para contar los elementos dentro de un conjunto. Ejemplo:

N= {1,2,3...}

Por lo que al averiguar el numero de elementos que tiene un conjunto finito, se le asigna a cada elemento un numero natural, es decir: al primer elemento se le asigna el número uno (1), al segundo, el número dos (2) y, así sucesivamente, hasta agotar los elementos del conjunto. Al finalizar éste proceso, el número de elementos del conjunto es el último natural utilizado.

Para representar a los naturales en una recta, se ubica hacia la derecha la secuencia 1, 2, 3, ... a una distancia fija, denominada unidad.

Algunas Propiedades de los Números Naturales (N): Entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural.

Todo número natural n > 2, se puede descomponer en factores primos. Por ejemplo: 30 = 2×3×5, en los que 2, 3 y 5 son números primos.

propiedades de los números enteros (Z): No tiene primero ni último elemento.

Entre dos enteros consecutivos, no existe ningún otro entero.

Si n es un número entero, existe −n ∈ Z, tal que n+ (−n) = 0. Es decir, todo número entero, tiene un inverso aditivo.

Al sumar, restar o multiplicar dos números enteros, el resultado es otro número entero.

Ejemplo: -3 + 8 = 5, (-3)(5) = -15 y 3 - 8 =5 son enteros.

Pero no se puede dividir un entero entre otro y obtener un entero como resultado.

Ejemplo: vemos que: 8 / (-2) = -4 es un entero, pero -8 / 3 no lo es. Por tanto, dentro del sistema de los enteros, podemos sumar, multiplicar y restar pero no siempre podemos dividir.

Todos los números enteros son números racionales, ya que cualquier entero se puede expresar como la división entre él mismo y el 1, es decir si n ∈ Z, n = n/I ∈ Q. En una recta, los racionales se representan de la siguiente forma:

Propiedades Conmutativas: Si a y b son dos números reales cual quiera, entonces,

a + b = b + a y ab = ba.

Ejemplo: 5 + 8 = 8 + 5, 5 + (-8) = (-8) + 5, 5 x 8 = 8 x 5 y (5)(-8) = (-8)(5). Estas propiedades establecen que no importa el orden en el cual dos números son sumados o multiplicados (obtenemos el mismo resultado con cualquier orden que sigamos). Se conocen como propiedades conmutativas de la adición y de la multiplicación, respectivamente.

PROPIEDADES ASOCIATIVAS: Si a, b y c son tres números reales cualquiera, entonces, (a + b) + c = a + (b + c) y (ab)c = a(bc).

Ejemplo: Por ejemplo, (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7) = 12 y (2 x 3) x 7 = 2 x (3 x 7) = 42. Estas propiedades se conocen como propiedades asociativas de la adición y de la multiplicación, respectivamente. Establecen que, si tres números se suman (o se multiplican) a la vez, no importa cuáles dos de ellos se sumen (o se multipliquen) en primer término. Obtenemos la misma respuesta en ambos casos. En virtud de estas propiedades, es innecesario escribir los paréntesis en las expresiones anteriores. Podemos escribir a b c para indicar la suma de a, b y c y abc para su producto sin ninguna ambigüedad.

Los racionales se pueden escribir en forma decimal, para ello se realiza la división entre el numerador y el denominador. Ejemplo:

8/4=2, 8/3=2.66666666...

Los Números Reales se expresan con decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal y pueden ser decimales periódicos y decimales no periódicos.

Los Números Complejos C:

El conjunto de los complejos C = {a+bi : a,b ∈ R}, incluye a los números reales. Cada número complejo está conformado por una parte real y otra imaginaria llamada i que se define como i = √ −1. Si c ∈ C, existen a,b ∈ R tales que c = a+bi, en el que a es la parte real y b la parte compleja o imaginaria.

En el Álgebra, al solucionar algunos tipos de polinomios, se encuentran raíces complejas. Por ejemplo, para el polinomio p(x) = x 2 +1, sus soluciones son: x = √ −1 = i y x = − √ −1 = −i.

Para representar un número complejo se utiliza el plano de Argand, en el que en el eje horizontal se marca la parte real y en el vertical la parte imaginaria. De esta forma, el complejo x = 3 + 2i, se representa en dicho plano como un punto, en el que la primera componente es la parte real y la segunda la compleja, es decir x = 3+2i, se representa como el par ordenado (3,2).

los números racionales que tienen el numerador menor que el denominador, se representan entre 0 y 1, si tanto el numerador como el denominar ambos son positivos o ambos negativos.

En otro caso, si el numerador es positivo y el denominador negativo, o viceversa, el número racional se ubica entre −1 y 0. Ejemplo: para representar la fracción 3/4 , se divide la unidad en cuatro partes iguales, y sobre la tercera, a la derecha, se escribe la fracción:

Los Números Irracionales Q*: números que no se pueden escribir como el cociente de dos enteros, y que a sus cifras decimales no se les puede determinar un período y su número de cifras decimales es indefinido.

Ejemplo:

Representación de los irracionales en una recta numérica: