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Números reales.

Números reales.

Axiomas de los números reales.

Intervalos y su representación gráfica.

Valor absoluto y sus propiedades.

Propiedades de las desigualdades.

Resolución de desigualdades de primer y

segundo grado con una incógnita.

Resolución de desigualdades que incluyan

valor absoluto.

Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.

En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.

Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.

Los números reales se representan mediante la letra R

Ejemplos:

N= 1,2,3,4,5,6,7…

Números naturales(N)

Z=…-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,…

Números enteros(Z)

Q=a/b b≠0 ejemplos 4/3,-7/2

Números racionales(Q)

I=√2,√3,π ,√5

Números irracionales(I)

R=Q U I

Los números reales son todos los anteriores

Números reales(R)

No son números reales 5/0 √-2,​

Los axiomas son por tanto los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, y a partir de ellos, mediante las demostraciones matemáticas, se deduce la veracidad de cualquier afirmación.

Los axiomas serán, por tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas y que su veracidad no puede ser demostrada a partir de otros axiomas. Un axioma no se caracteriza por si resulta una afirmación trivial o intuitiva, siendo el axioma de elección un ejemplo de un axioma que no resulta trivial.

Intervalo: Es el conjunto de números reales comprendidos entre dos lados: a y b (son los extremos del intervalo).

También se le llama intervalo al segmento determinado por los puntos a y b que representa una porción de la recta real.

El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en la recta numérica.

El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo.

Para cualquier número, si:

Entonces | x | = x y si

x ‹ 0 entonces | x | = -x

Las propiedades fundamentales del valor absoluto son:

No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.

Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa.

Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos.

Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.

Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean

Desigualdades de primer grado con una incógnita

Las desigualdades de primer grado (lineales), se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales.

Es decir, se puede despejar la incógnita utilizando operaciones idénticas en ambos lados de la desigualdad.

Como veremos en los ejemplos, es necesario tomar en cuenta una diferencia muy importante, pues cuando se multiplica una desigualdad por algún valor negativo, la dirección de la desigualdad se invierte, es decir, de menor que cambia a menor que y viceversa.

Desigualdades de segundo grado con una incógnita

Las desigualdades de primer grado (lineales), se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales.

De acuerdo a las características de la expresión cuadrática, podemos determinar si la resolveremos por fórmula general, por factorización, ó despejando.

Además de tener en cuenta el efecto de la multiplicación por números negativos en la dirección de la desigualdad, también tenemos que considerar el efecto de la raiz cuadrada. Este efecto lo explicaremos en los ejemplos.

El resultado lo representaremos en notación de intervalos y con representación sobre la recta númerica.

X2-14>11

X2>11+14

X2>25

√x2 > √25

|x|>5

Entonces: x>5 o x<-5

Resuelva y grafique.

|x+2|>4

separe en dos desigualdades

x+2>4 O x+2<-4

Reste 2 de cada lado en cada desigualdad

x>2 O x<-6

Ejemplos:

1-Asociativa de la suma:

a+(b+c)=(a+b)+c Para todo ∀ a,b,c ∈ R.

2-conmutativa de la suma:

a+b=b+a Para todo ∀ a,b ∈ R.

3-Existencia del neutro de la suma:

∃ 0 ∈ R/ ∀ a ∈ R: a +0=0+a=a

4-Existencia del opuesto de la suma:

∀ a ∈ R ∃ (-a) ∈ R/ a+(-a) =(-a)+a=0

5-Asociativa del producto:

a.(b.c)=(a.b).c Para todo ∀ a,b,c ∈ R.

6-Conmutativa del producto:

a.b=b.a Para todo ∀ a,b ∈ R.

7-Existencia del neutro del producto:

∃ 1 ∈ R / ∀ a ∈ R: a.1=1.a=a

8-existencia del opuesto del producto:

∀ a ∈ R ∃ a-1 ∈ R /a. a-1=a-1.a=1

9- distributiva:

a.(b+c)=a.b+a.c

(b+c).a=b.a

∀ a,b,c ∈ R

10-Tricotomia:

∀ a ∈ R: a ∈ R+,(-a) ∈ R-, o a=0

11-Vomparatibilidad del orden

a y b ∈ R+ => a+b ∈ R+; a.b ∈ R+

12-Axioma de completitud:

Todo conjunto no vacio de reales que este acotado superior mente tiene supremo

x = ± √ 2

Intervalo abierto

Es el conjunto de los números reales entre a y b, sin incluir sus extremos (a, b)

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

Es el conjunto los numeros reales entre a y b incluyendo sus extremos. [a, b]

[a, b] = { x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha)

Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b (a,b]

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda)

Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b. [a, b)

[a, b) = { x / a ≤ x < b}

Intervalos infinitos

Son todos los números mayores que a.(a, infinito)

(- ∞, b] = { x / x ≤ b}

[a, +∞) = { x / x ≥ a}

(a, +∞) = { x / x > a}

(-∞ , +∞ ) = R

(-∞ , b) = { x / x < b}

Propiedad antireflexiva

Para todos los números reales x ,

Propiedad de antisimetría

Para todos los números reales x y y ,

Propiedad transitiva

Para todos los números reales x , y , y z ,

si x < y y y < z , entonces x < z .

si x > y y y > z , entonces x > z .

Propiedad de la suma

Para todos los números reales x , y , y z ,

si x <y, entonces x + z < y + z .

Propiedad de la resta

Para todos los números reales x , y , y z ,

si x <y, entonces x - z < y - z .

Propiedad de la multipicación

Para todos los números reales x , y , y z ,

si x < y , entonces

Ejemplos

Resolveremos un par de ejemplos de cada tipo de desigualdad.

Comenzaremos con las de primer grado con una incógnita.

1) 3x – 5 ≥ 5x + 15

Sumamos 5 a los dos lados de la desigualdad

3x – 5 + 5 ≥ 5x + 15 + 5

3x ≥ 5x + 20

Restamos 5x en ambos lados

3x – 5x ≥ 5x + 20 – 5x

-2x ≥ 20

Multiplicamos ambos lados por -1/2 *

-1/2(-2x) ≤ -1/2(20)

x ≤ -10

* La dirección de la desigualdad cambia al multiplicar por un número negativo.

El resultado es el intervalo (-∞ , -10]

2) (1/3)x + 1/2 < -2x + 1

Restamos 1/2 a los dos lados

(1/3)x + 1/2 – 1/2 < -2x + 1 – 1/2

(1/3)x < -2x + 1/2

Sumamos 2x en ambos lados

(1/3)x + 2x < -2x + 1/2 + 2x

(7/3)x < 1/2

Multiplicamos a los dos lados por 3/7

3/7(7/3)x < 3/7(1/2)

x < 3/14

Juan Jesús Gutierrez Lopez