Espacios vectoriales

Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa, con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Que es

Se divide en

Propiedades

son

Propiedades de la suma de vectores, sean u, v, w vectores en v

1). La suma vector u+ vector v=vector z. es otro vector en v

2)Vector u+ vector v=vector v +vector u. Es decir la suma es conmutativa

3)(Vector u+ vector v)+ vector w = vector u+( vector v+ vector w). Es decir, la suma es asociativa

4)Existe un vector 0, tal que vector u+ vector 0=vector 0+vector u =vector u

5)Para todo vector u existe un vector -vector u ,tal que vector+(-vector u)=vector 0 y se dominio inverso aditiva

Propiedades de la multiplicacion por un escalar. Sean u y v vectores en v, c y d constantes. (Escalares)

6) El vector Cu es un vector v

7) c( Vector u+ vector v)= c Vector u + c Vector v

8) ( c+ d ) Vector u= c Vector u+ d Vector u los incisos 2 y 3 representan la propiedad distributiva

9) c( d + vector u+)= (cd) Vector u

10) Para todo Vector u, 1 Vector u= Vector u, tal que Vector u+(-Vector u)= Vector 0, y se denomina inverso aditivo.

Combinación lineal y espacio generado

Definición de combinaciones lineales

Sea V un espacio vectorial sobre un campo F, y sean V1...Vn Vectoriales en V , por definicion V contiene a todos los vectores de la forma C1 V1+....+ Cn Vn con C1 .... C1 e F la coleccion de los vectores de estilo.

Definicion . Sean V1 ...,Vn vectoriales es un espacio vectorial V sobre F

1. Un vector V es una caminacion lineal de los vectores V1 ...., Vn si existen escalres C1....., Cn e F tales que

v= C1 V1+ C2 V2+...+ Cn Vn

Espacio generado

El espacio generado ( que a veces abreviaremos como el generado) por V1 ...., Vn y lo denotamos por span( Vn...., Vn)

Que es

Independencia lineal de vectores

Independencia lineal de vectores

Un conjunto de vectores (diferentes de cero) de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si y sólo si, algún vector del conjunto es una combinación lineal de los demás. Es decir, si uno de los vectores depende de los demás, el conjunto es dependiente.

Un conjunto de vectores (diferentes de cero) de un espacio vectorial V es linealmente independiente, si y sólo si, ningún vector del conjunto es una combinación lineal de los demás. Es decir, si ninguno de los vectores depende de los demás, el conjunto es independiente.

Que es

Base y dimensión de un espacio vectorial.

. Rango, nulidad, espacio renglón y espacio columna.

Base y dimensión de un espacio vectorial.

Sea E un espacio vectorial finitamente engendrado; se llama dimensión de un espacio E al número de elementos que tiene una cualquiera de sus bases. Teorema y definición: Dimensión. Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.

Un conjunto que sea linealmente independiente (1) y generador del espacio vectorial (2) se dice que es una base vectorial. Puede demostrarse que todas las bases de un espacio vectorial son conjuntos con el mismo número de elementos (es decir, conjuntos que tienen el mismo cardinal).

Que es

Rango, nulidad, espacio renglón y espacio columna.

Rango: es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. Utilizando esta definición se puede calcular usando el método de Gauss. También, podemos decir que el rango de una matriz es el orden de la mayor sub matriz cuadrada no nula.

Nulidad: La dimensión del espacio nulo de A, se denomina Nulidad de una Matriz y se denota por nulidad(A). Si A es una matriz cuadrada de orden n: Rango (A) = número de variables principales que hay en la solución del sistema A.X = 0. Nulidad(A) = números de parámetros que hay en la solución de A.X= 0.

Espacio renglón y espacio columna:

Una matriz A por sı misma puede generar dos espacios vectoriales: el primero se forma por combinaciones lineales de los renglones, y el segundo al considerar en las combinaciones las columnas. Dichos espacios se conocen como espacio renglon

Que es