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si hacemos la inversa de la inversa se obtiene la matriz original

Inversa de una matriz

Matriz transpuesta

En otras palabras, la matriz traspuesta es la acción de seleccionar las filas de la matriz original y reescribirlas como columnas en la nueva matriz e invertir el proceso para las columnas.

Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.

Otra propiedad interesante es que la inversa del producto coincide con el producto de las inversas pero en orden inverso

Generalmente cuando cambiamos las filas por columnas y las columnas por filas lo indicamos añadiendo un superíndice T o un apóstrofe en el nombre de la matriz original.

Si se pueden multiplicar en cualquier orden deben ser matrices cuadradas

(Anxn·A-1nxn=A-1nxn·Anxn=Inxn)

Observa que si la matriz A es de dimensión 1x1, su inversa está formada por el inverso del elemento de A

([A·B]-¹ = B-¹·A-¹)

Fórmula de una matriz traspuesta nxm

Dada una matriz Z cualquiera con n filas y m columnas podemos construir la matriz traspuesta, ZT, que tendrá m filas y n columnas.

Trasposición de la matriz Z.

Una matriz es inversa de otra cuando al multiplicar ambas (en cualquier orden).

se obtiene la matriz identidad

Si añadimos el superíndice T, deberemos tener presente que estamos trabajando con matrices y que el superíndice no es ningún exponente.

Trasposición de una matriz cuadrada

Inversa por el método de Gauss

Escribir la matriz y adjuntar a su derecha la matriz identidad de la misma dimensión.

Realizar las transformaciones de Gauss de forma sucesiva hasta conseguir que la matriz identidad quede a la izquierda.

Inversa por determinantes

Caso de que no pueda conseguirse (toda una fila quede de ceros, por ejemplo), es porque la matriz no tiene inversa.

La matriz resultante a la derecha será la inversa de la matriz dada.

Calcular el determinante de la matriz. (Si el determinante fuese 0, no existe la matriz inversa)

Calcular la matriz adjunta.

Calcular la matriz traspuesta de la obtenida en el paso anterior.

La matriz inversa se obtiene dividiendo cada elemento de la matriz del paso anterior entre el deteminante de la matriz dada

no todas las matrices tienen inversa

Las matrices que no son cuadradas no tienen inversa.

Las matrices cuadradas cuyo determinante es 0 no tienen inversa.

Sólo las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de 0 tienen inversa.

Para entender el procedimiento, comenzaremos con un ejemplo:

Calculamos el determinante de la matriz.

En el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

Hallamos la matriz adjunta

Es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto

Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.​​​​​​

La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

Caso general de trasposición de la matriz Z de orden 3.

Propiedades

Dada la matriz Z anterior,

La traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original.

La suma traspuesta de matrices es igual a la suma de las matrices traspuestas.

El producto traspuesto de una constante h por una matriz es igual al producto de la constante h por la matriz traspuesta.

El producto traspuesto de la multiplicación de matrices es igual al producto de la multiplicación de matrices traspuestas.

Las matrices traspuestas están más presentes de lo que creemos. En econometría encontramos trasposiciones cuando expresamos las matrices en forma cuadrática.

Asimismo, la fórmula del estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) en forma matricial:

Fórmula del estimador de MCO en forma matricial.

Ejemplo teórico

Encuentra la matriz traspuesta de las siguientes matrices:

Definición informal

La matriz traspuesta de una matriz A se denota por y se obtiene cambiando sus filas por columnas (o viceversa).

Obsérvese, por ejemplo, que la primera fila de la matriz A es (1,0,4). Esta fila es la primera columna de su matriz traspuesta

Definición formal

Sea A una matriz de dimensión mxn, denotamos al elemento de la fila i y columna j como A(i,j), siendo i<m y j<n.

Entonces, se define la matriz traspuesta de A como la matriz de dimensión nxm tal que , siendo i<m y j<n.

Propiedades de la matriz traspuesta