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CONCEPTUALIZACIÓN DE MATRICES, VECTORES Y DETERMINANTES

PROPIEDADES DE LOS VECTORES

OPERACIONES BÁSICAS CON VECTORES

VECTORES CANÓNICOS

PRODUCTO PUNTO

PRODUCTO CRUZ

Como toda operación, la suma de vectores tiene unas propiedades que facilitan su realización

MULTIPLICACION DE VECTORES

son

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Es la propiedad que relaciona la multiplicación y la suma.

PROPIEDAD ASOCIATIVA Es la propiedad donde la forma de agrupar los vectores no altera la resultante.

PROPIEDAD CONMUTATIVA Es la propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma.

PROPIEDAD DEL INVERSO ADITIVO

Es la propiedad donde la suma de un vector y su vector opuesto es cero.

PRODUCTO ESCALAR

RESTA DE VECTORES

PRODUCTO VECTORIAL

SUMA DE VECTORES

PRODUCTO MIXTO

Si se suman dos magnitudes escalares, basta con sumar sus valores numéricos. Por ejemplo 10 w más 20 w son 30 w de potencia

Se procede igual que en la suma, bien operando con las componentes cartesianas, o bien mediante el método del paralelogramo, sabiendo los componentes cartesianos de los vectores, restaremos los componentes cartesianos del segundo vector de los del primero

Por el contrario

sumar dos magnitudes vectoriales el proceso es más complejo, pues debemos de tener en cuenta dirección y sentido

Asi

Conociendo las componentes cartesianas de los vectores a sumar, el vector resultante tendrá como componentes cartesianos la suma, eje a eje, de cada vector.

formas

La operación de resta de dos o más vectores da como resultado otro vector. Para realizar la resta de vectores existen distintos métodos, ya sea de manera algebraica o mediante el uso de geometría analítica.

metodos

algebraico

geometría analítica

Metodo directo

Método del paralelogramo

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Método del polígono

método triangulo

Para restar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

El método del polígono es utilizado cuando queremos restar más de dos vectores, y consiste en colocar un vector a continuación del otro, de modo que el extremo de uno coincida con el origen del otro, y así sucesivamente, hasta colocar todos los vectores

Propiedades de la suma y la esta de vectores

Conmutativa

Asociativa

Elemento opuesto

Elemento neutro

La resta de vectores no cumple la propiedad conmutativa

Como producto escalar, cuyo resultado es un número:

A · B = C ; Donde C ∈ R.

Como producto vectorial, cuyo resultado es otro vector.

A × B = C

propiedades

Asociativa

Distributiva

Elemento neutro

La multiplicación de un vector por un escalar n es otro vector cuyo módulo Si n es positivo, el vector producto tendrá el mismo sentido. Si n es negativo, el vector producto tendrá el sentido opuesto.será |n| · ||.

se le llama producto vectorial o producto cruz de dos vectores y a otro vector cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los dos primeros por el seno del ángulo que forman.

Para indicar el producto vectorial se usa tanto la notación x como ∧ . Aquí utilizaremos la notación ∧ .

Consideraremos el caso del llamado producto mixto de tres vectores. es un numero o magnitud escalar que se obtiene, partiendo del producto vectorial de dos vectores y , multiplicado escalarmente por un tercer vector .

Es aquél arreglo que está formado por una y solo una entrada igual al neutro multiplicativo, y el resto de entradas, el elemento neutro aditivo.

propiedades

Conmutatividad

Asociatidad al multiplicar por un número real.

Distributividad con la suma.

El producto punto es una manera fundamental en la que podemos combinar dos vectores. De manera intuitiva, nos dice algo acerca de qué tanto apuntan dos vectores en la misma dirección.

el producto cruz es una operación entre dos vectores. Antes de llegar a una fórmula para el producto cruz, hablemos de algunas de sus propiedades.

propiedades

La regla de la mano derecha

La fórmula no tan bonita

Tenemos una convención llamada la regla de la mano derecha para resolver esta ambigüedad. Si levantas tu mano derecha, apuntas tu dedo índice en la dirección

Lo más importante que debes recordar del producto cruz deben ser sus propiedades, no su fórmula. Pero a veces necesitamos calcular un producto cruz. Desafortunadamente, la fórmula para el producto cruz no es tan bonita como lo fue para el producto punto