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APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Movimiento rectilineo

Area

Volumenes de solidos: metodo de las rebanadas

Volumenes de solidos: metodo de los cascarones

Longitud de una grafica

Area de una superficie de revolucion

Valor promedio de una funcion

Trabajo

Presion y fuerza del fluido

Centros de masa y centroides

velocidad y(t) ds

dt y aceleración a(t) dy

dt .

Si se conocen la posición inicial s(0) y la velocidad inicial y(0), es posible encontrar valores

específicos de las constantes de integración usadas en (1).

b]. El área total es el área de la región acotada por la grá-

fica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b. Para encontrar esta área se emplea el valor

absoluto de la función que es no negativa para toda x en [a, b]. Recuerde que

está definida por partes.

un cilindro recto se define

como un sólido acotado por dos regiones planas congruentes, en planos paralelos y una superfi-

cie lateral que es generada por un segmento de recta perpendicular a ambos planos y cuyos extre-

mos constituyen los límites de las regiones planas.

pr2

2h pr2

1h pAr2

2 r2

1Bh p(r2 r1)(r2 r1)h.

volumen

revolución. Pero en lugar de usar planos perpendiculares al eje de revolución para reba-

nar el sólido en rodajas cuyo volumen puede aproximarse por cilindros circulares rectos regula-

res (discos o arandelas), desarrollamos un nuevo método para encontrar volúmenes de sólidos de

revolución que utiliza cascarones cilíndricos circulares.

Si una función y = f(x) tiene una primera derivada continua sobre un intervalo

[a, b], entonces se dice que la gráfica es suave y f se denomina función suave. Como el nombre

lo implica, una gráfica suave carece de picos. En el análisis que sigue se establece una fórmula

formal de la longitud L, o longitud de arco, de una gráfica suave sobre un intervalo [a, b]. Vea

Como se ha visto en las secciones 6.3 y 6.4, cuando una gráfica de una función

continua y = f(x) sobre un intervalo [a, b] gira alrededor del eje x, genera un sólido de revolu-

ción. En esta sección tenemos interés en encontrar el área S de la superficie correspondiente; es

decir, una superficie de revolución sobre [a, b]

a1 a2 p an

n 1

n a

n

k1

ak.

Si ahora se considera el conjunto de valores funcionales f(x) que corresponde a todos los núme-

ros x en un intervalo, debe resultar evidente que no es posible usar una suma discreta como en

(1), puesto que este conjunto de valores funcionales suele ser un conjunto no numerable.

En física, cuando una fuerza constante F mueve un objeto a una distancia d en

la misma dirección de la fuerza, el trabajo realizado se define como el producto

(1)

Por ejemplo, si una fuerza de 10 lb mueve un objeto 7 pies en la misma dirección de la fuerza,

entonces el trabajo realizado es 70 pies-lb. En esta sección veremos cómo encontrar el trabajo

realizado por una fuerza variable.

Suponga que una placa horizontal plana se sumerge en un fluido como

agua. La fuerza ejercida por el fluido exactamente arriba de la placa, denominada fuerza F del

fluido, se define como

F (fuerza por unidad de área) . (área de superficie)

En esta sección consideramos otra aplicación de la física. Usamos la integral

definida para encontrar el centro de masa de barras y regiones planas. Empezamos con una revi-

sión de la forma de encontrar el centro de masa de sistemas bidimensionales y tridimensionales

de n masas discretas o puntuales.

Sistemas unidimensionales Si x denota la distancia dirigida del origen O a una masa m, se

dice que el producto mx es el momento de masa respecto al origen. En la tabla siguiente se resu-

men algunas unidades.