INTEGRALES COMPLEJAS

INTEGRACIÓN COMPLEJA

Debemos comprender que a f a lo largo de una curva C o contorno del plano complejo. también hay que considerar que sus métodos y propiedades son similares a las de la Integración Real Lineal en el plano.

CURVA C

Es una función γ(a,b)→C,a ≤ t ≤ b se le asocia al numero complejo z(t)=x(t)+iy(t) donde x y y→R son funciones continuas.

CURVA SIMPLE

CURVA CERRADA

CURVA REGULAR

Cumple con la condición de la Curva Simple salvo salvo a sus extremos se dice que es cerrada.

INTEGRADA DE CONTORNO

Sea n dominio de C y:[a,b] →n un contorno de dicho dominio y f: n→C. Se define la integral de f sobre el contorno y como:

Es equivalente a dos Integrales de línea de dos campos vectoriales sobre Ω

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA

TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT

Louis Agustín Cauchy demostró el teorema del análisis Complejos.

“Supóngase que una función f es analítica en un dominio simplemente conexo D y que f’ es continua en D. Por lo que cualquier contorno cerrado simple C en D”

Consecuencia del Teorema de Green y de ecuaciones de Cauchy-Rieman dan la siguiente demostración.

DOMINIOS MULTIPLEMENTE CONVEXOS

En este caso no se puede construir el teorema por lo que D es un dominio doblemente convexo que C y C1 son contornos cerrados y nos da el principio de deformación de contorno

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA

Se calculan por medio del teorema fundamental de las integrales en línea.

Es independiente de la trayectoria.

Si su valor es el mismo para cualquier contorno C en D punto.

ANALITICIDAD: Si f es analítica en 0 se deduce

ANTIDERIVADA: Si una función F tal que F'(z)=f(z) para cada z en D .

TEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRALES DE CONTORNO.

Si f es continua en un dominio D y F es una antiderivada de f en D.

EXISTENCIA DE UNA ANTIDERIVADA

Si f es analítica en un dominio simplemente conexo D, entonces f tiene una antiderivada en D; esto es, existe una función F tal que: F'(z)=f(z) para cualquier z en D.

FORMULAS INTEGRALES DE CAUCHY

PRIMERA FORMULA

Sea f una función analítica en un dominio simplemente conexo D, y sea C un contorno cerrado simple que se localiza completamente en D

SEGUNDA FORMULA

Sea f una función analítica en un dominio simplemente conexo D, y C un contorno cerrado simple comprendido enteramente dentro de D. Si z0 es cualquier punto interior a C, entonces:

Equivale a:

Parámetros que mantienen la orientación.

-y denota la curva y se orienta a un sentido contrario.

Si y1+y2=