Integrales

Integrales

1. Que es

   • la integral es igual al área de la región del plano x,y limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x=a y x=b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x
     • ∫3X^2dx = x^3+c

2. Métodos

   • Cambio de variable o sustitución
   • Problemas de valor inicial
     • Valor incial:Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de orden n y de n condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus n-1 primeras derivadas en un valor de la variable independiente.
       • Ejemplo
         • Una partícula P se mueve a lo largo del eje x de manera tal que su aceleración en cualquier tiempo t \geq 0 está dada por a(t) = 8 - 4t + t^2. Encuentre la posición x(t) de la partícula en cualquier tiempo t, suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en x=1 y está viajando a una velocidad de v=-3.
   • Integral definida
     • VALOR PROMEDIO: Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto. Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que f(c)(b - a)
       • Ejemplo
         • Suponga que la población mundial actual es de 5 mil millones y que la población dentro de t años está dada por la ley de crecimiento exponencial p(t) = e0,023t. Encuentre, la población promedio de la tierra en los próximos 30 años.
     • Área
       • Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas.
       • Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas.
       • En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas.
   • Integracion por partes
     • Casos
       • CASO 1: En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.
       • CASO 2: Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.
       • CASO 3: Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.
       • CASO 4: Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.
   • Integración de funciones trigonométricas
     • Se trata de integrales en la que aparecen las funciones trigonométricas: sen x, cos x, tan x. Estas funciones pueden aparecer dentro de una expresión racional P/Q
     • Casos
       • CASO 1: Cuando n=2k+1 en la integral trigonemetrica ∫sennx∗cosmxdx, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad sen^{2}x=1 - cos^{2}x para poder expresar los factores restantes en términos del coseno.
       • CASO 2: Cuando m=2k+1 en la integral trigonemetrica ∫sennx∗cosmxdx, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear cos^{2}x =1 - sen^{2}x para poder expresar los factores restantes en términos del senx
       • CASO 3: Cuando las potencias de la integral trigonemtrica ∫sennx∗cosmxdx son pares a la vez n= 2k y m=2p, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo sen^{2}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos2x -y- cos^{2}x =\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos2x algunas veces nos sera útil utilizar la identidad senx*cosx =\frac{1}{2}sen2x .
   • Integración por sustitución trigonométrica
     • La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la siguiente forma: √a^2-U^2 , √a^2+U^2 , √U^2-a^2
       • Casos
   • Integración por funciones parciales
     • El método de fracciones parciales se refiere a de sumar una fracción, es decir, deshacer una suma en fracciones con un común denominador para encontrar el resultado de la fracción original
     • Casos
       • CASO 1
       • CASO 2
       • CASO 3
       • CASO 4

3. Aplicaciones

   • Muchas leyes de la Física se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. En el caso más sencillo, estas ecuaciones diferenciales se resuelven con el cálculo de una primitiva y muchas veces el resultado final que se busca se encuentra con el cálculo de una integral.
   • En la administración de empresas se utiliza la integral en un tema muy importante que es la oferta y la demanda, ya que los dos utilizan gráficas para determinar como crece o decrece cada función. La integral en este caso se utiliza para hallar el área bajo la curva.
   • En la biología se utiliza por ejemplo para la identificación de probabilidad de extinción de una especie animal.(Crecimiento demográfico/poblacional). Predecir el desarrollo de bancos de coral, identificar si reduce o aumenta la cantidad de fosforo disuelto en el agua. Calculo de biomasa.
   • En la medicina no quirúrgica para las dosis de medicamentos. El cálculo y ajuste de dosis en personas con problemas de insuficiencia. Fisiología: para ver volúmenes de filtración renal, tensión arterial.
   • Para transfusiones sanguíneas. Medicinas en pediatra como IMC. Farmacología: no sólo para las dosis, sino también en lo referente a balances de pH o tener un mejor análisis dependiendo de los casos. Cultivos de hongos y crecimiento de bacterias.

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